Processus de Volterra et applications en finance

by Elizabeth Zuniga

Doctoral thesis in Mathématiques appliquées

Under the supervision of Etienne Chevalier.

defended on 17-06-2021

in université Paris-Saclay , under the authority of École doctorale de mathématiques Hadamard , in a partnership with Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Évry (Evry, Essonne) (laboratoire) , Université d'Évry-Val-d'Essonne (1991-....) (référent) , Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....) (graduate school) and Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Evry / LaMME (laboratoire) .

Thesis committee President: Christa Cuchiero.

Thesis committee members: Aurélien Alfonsi, Christian R. Bayer, Sergio Pulido, Shiqi Song.

Examiners: Aurélien Alfonsi, Christian R. Bayer.

keywords

• Volterra processes
• Rough volatility
• American options

Alternative Title

Volterra processes and applications in finance

Abstract

The present thesis is devoted to the study of stochastic Volterra processes and their applications to finance. We begin by recalling some properties of these processes that will be used throughout this work. The second part focuses on the study of an optimal stopping problem, namely the problem of pricing American options in the Volterra Heston model. For a particular choice of the parameters, this model is a rough version of the widely-known Heston model. We concentrate on the convergence of the prices in an approximating sequence of high dimensional models towards the prices in the limiting Volterra model. The third part of this work is devoted to the study of the moments for polynomial Volterra processes. We develop some methods for computing moments of these processes and show that they share some properties with classical polynomial diffusions. In the last part, we shift our attention to more statistical matters. We tackle the problem of the drift estimation for the Volterra Ornstein-Uhlenbeck process. We prove the strong consistency of our drift estimators based on continuous and discrete observations of the process.

keywords

• Processus de Volterra
• Volatilité rugueuse
• Option Américaine
• Volterra, Équations de -- Solutions numériques
• Heun, Équation de
• Options (finances)
• Estimation de paramètres
• Finances -- Modèles mathématiques

Abstract

Cette thèse est consacrée à l'étude des processus de Volterra et leur utilisation en finance. Nous commençons par rappeler certaines propriétés de ces processus que nous utiliserons tout au long de notre travail. La seconde partie porte sur l'étude d'un problème d'arrêt optimal, la valorisation d'une option Américaine dans un modèle de Heston-Volterra. Pour certains choice de paramètres, ce modèle est une version dite rugueuse du bien connu modèle de Heston. Nous nous concentrons sur la convergence des prix dans une suite de modèles de grande dimension, approchant le modèle original, vers les prix dans le modèle limite de Volterra. Dans le troisième chapitre de ce travail, nous étudions les moments de processus polynômiaux de Volterra. Nous proposons des méthodes de calcul des moments de ces processus et montrons qu'ils ont certaines propriétés en commun avec les diffusions polynômiales classiques. Nous concluons ce travail en nous intéressant dans le quatrième chapitre à des problèmes plus statistiques. Nous abordons le problème d'estimation du paramètre de vitesse de retour à la moyenne d'un processus d'Ornstein-Uhlenbeck de Volterra. Nous montrons que nos estimateurs, basés sur des observations continues ou discrètes du processus sont fortement consistant.