Inférence topologique à partir de mesures et de fibrés vectoriels
Auteur / Autrice : | Raphaël Tinarrage |
Direction : | Frédéric Chazal |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques appliquées |
Date : | Soutenance le 12/10/2020 |
Etablissement(s) : | université Paris-Saclay |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) |
Partenaire(s) de recherche : | référent : Université Paris-Saclay. Faculté des sciences d’Orsay (Essonne ; 2020-....) |
Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Patrick Massot |
Examinateurs / Examinatrices : Simon Masnou, Shmuel Weinberger, Blanche Buet, Dominique Attali, Marc Glisse | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Simon Masnou, Shmuel Weinberger |
Mots clés
Résumé
Nous contribuons à l'inférence topologique, basée sur la théorie de l'homologie persistante, en proposant trois familles de filtrations.Nous établissons pour chacune d'elles des résultats de consistance---c'est-à-dire de qualité d'approximation d'un objet géométrique sous-jacent---, et de stabilité---c'est-à-dire que robustesse face à des erreurs de mesures initiales.Nous proposons des algorithmes concrets afin de pouvoir utiliser ces méthodes en pratique.La première famille, les filtrations-DTM, est une alternative robuste à la classique filtration de Cech lorsque le nuage de points est bruité ou contient des points aberrants.Elle repose sur la notion de distance à la mesure qui permet d'obtenir une stabilité au sens de la distance de Wasserstein.Deuxièmement, nous proposons les filtrations relevées, qui permettent d'estimer l'homologie des variétés immergées, même quand leur portée est nulle.Nous introduisons la notion de portée normale, et montrons qu'elle conduit à un contrôle quantitatif de la variété.Nous étudions l'estimation des espaces tangents par les matrices de covariance locale.En troisième lieu, nous développons un cadre pour les filtrations de fibrés vectoriels, et définissons les classes de Stiefel-Whitney persistantes.Nous montrons que les classes persistantes associées aux filtrations de fibrés de Cech sont consistantes et stables en distance de Hausdorff.Pour permettre leur mise en œuvre algorithmique, nous introduisons la notion de condition étoile faible.