Dynamique en temps long et en temps fini de l'équation de schrödinger non-linéaire en dehors d'un obstacle

Dynamics of the nonlinear Schrödinger equation in the exterior of an obstacle, for large time and finite time

• Auteur / Autrice : Oussama Landoulsi
• Direction : Thomas Duyckaerts
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/10/2020
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Érasme (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Valeria Banica
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Fabrice Planchon, Hatem Zaag, Svetlana Roudenko
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nikolay Tzvetkov, Stefan Le Coz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'évolution non linéaires

Solitons

Équations dispersives non linéaires

Schrödinger, Équation de

Mots clés libres

Équation de Schrödinger non-Linéaire

Obstacle

Onde solitaire

Nonlinear Schrödinger equation

Obstacle

Solitary wave

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de la dynamique de l’équation de Schrödinger non-linéaire(NLS) focalisante en dehors d’un obstacle compact et convexe, avec des conditions de Dirichletau bord de l’obstacle. Nous nous intéressons à l’étude du comportement asymptotique des solutionsen temps long et en temps fini. Dans cette thèse, nous prouvons l’existence de ces troistypes de solutions: ondes solitaires (solitons), solutions "explosives " (formant des singularitésen temps fini) et des solutions dispersives (des solutions globales et se comportant asymptotiquementcomme des solutions linéaires) pour l’équation NLS en dehors d’un obstacle convexe.Dans la première partie de la thèse, nous construisons des ondes solitaires, se rapprochant, entemps long, des ondes solitaires existant pour l’équation NLS posée sur l’espace euclidien sansobstacle. Ainsi, ces ondes montre l’optimalité d’un seuil d’énergie en dessous duquel toutes lessolutions de l’équation sont globales et ont un comportement asymptotique linéaire.Dans la deuxième partie de la thèse, nous prouvons l’existence des solutions explosives pourl’équation NLS à l’extérieur d’une boule. Nous prouvons que les solutions d’énergie négativeet de variance finie forment une singularité en temps fini (ceci été conjecturé mais non démontré).Dans certains cas, nous étudions également le comportement des solutions sous le seuilmasse-énergie mentionné ci-dessus.Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions la dynamique de l’équation NLS en dehorsd’un obstacle convexe exactement au seuil masse-énergie, c’est à dire lorsque la masse etl’énergie de la donnée initiale sont égales à la masse et à l’énergie du soliton. Nous montronsque la solution est globale en temps et se disperse en temps long.Dans la dernière partie de la thèse, nous présentons des simulations numériques pour l’équationNLS en dehors d’un obstacle compact et convexe. Nous étudions l’interaction entre les solutionsde type ondes solitaires (solitons) se déplaçant à différentes vitesses vers l’obstacle sous différentsangles. Ainsi, nous montrons que la présence de l’obstacle modifie globalement le comportementdes solutions

The main objective of this thesis is to study the dynamics of the focusing nonlinear Schrödingerequation (NLS) in the exterior of a compact and strictly convex obstacle, with Dirichlet boundaryconditions. We study the asymptotic behavior of the solution for large times and finite time.We prove the existence of these types of solutions: solitary wave solutions (solitons), blow-upsolutions (solutions with finite time of existence), and scattering solutions (global and behavingasymptotically as linear solutions), for the NLS equation in the exterior of a convex obstacle.We first construct solitary wave solutions for the NLS in the exterior of a strictly convex obstacle.These solutions behave asymptotically as solitary waves on R3 for large times and satisfyDirichlet boundary conditions. These soliton solutions prove the optimality of the mass-energythreshold for global existence and scattering.Secondly, we prove the existence of blow-up solutions for the NLS in the exterior of a ball.We prove that finite variance, negative energy solutions break down in finite time. In somecases, we also study the behavior of solutions under the mass-energy threshold mentioned above.Next, we study the dynamics of the focusing 3d cubic NLS equation in the exterior of a strictlyconvex obstacle at exactly the mass-energy threshold ( i.e., if the initial data has the massenergyequal to that of a soliton solution). In this case, we prove that the solution is global intime and scatters in both time directions.Finally, we present numerical simulations for the focusing nonlinear Schrödinger equation in theexterior of a smooth, compact, strictly convex obstacle, with Dirichlet boundary conditions.We study the interaction between solitary wave solutions (solitons) traveling with differentvelocities towards the obstacle at different angles, and show how the obstacle changes theoverall behavior of solutions