Équations de réaction-diffusion, propriétés qualitatives et dynamique des populations
Auteur / Autrice : | Samuel Nordmann |
Direction : | Henri Berestycki |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 11/10/2019 |
Etablissement(s) : | Sorbonne université |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Centre d'analyse et de mathématique sociales (Paris ; Marseille) |
Jury : | Président / Présidente : Fabrice Bethuel |
Examinateurs / Examinatrices : Isabeau Birindelli, Laurent Desvillettes, Marie Doumic, Sepideh Mirrahimi | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Xavier Cabré, Emmanuel Grenier |
Mots clés
Résumé
Nous nous intéressons à certains problèmes issus des équations de réaction-diffusion et de leur application à la dynamique des populations. La première partie traite des solutions stationnaires stables des équations de réaction-diffusion. Nous nous intéressons en particulier à l'influence de la géométrie du domaine sur l'existence de solutions stables non-constantes, appelées patterns. Nous établissons un critère de non-existence de patterns pour des domaines généraux. Dans la deuxième partie, nous nous intéresserons à un modèle Hamilton-Jacobi pour la théorie de l'évolution darwinienne. Notre modèle présente un phénomène de concentration, c'est-à-dire que la population converge vers une masse de Dirac quand un paramètre d'échelle tend vers 0. Nous étudions le cas d'une population structurée en âge et en phénotype, soumise à une compétition entre individus. Dans un deuxième temps, nous ajoutons l'effet de mutations. Nous considérons également un modèle faisant intervenir un phénomène de sauvetage évolutif, dans lequel la population peut avoir une dynamique cyclique. La troisième partie est consacrée à l'étude de systèmes d'équations de réaction-diffusion. Notre cadre contient le modèle d'épidémiologie SI, et étend certaines propriétés classiques à une classe plus large. Enfin, nous proposerons un modèle pour rendre compte de la dynamique des émeutes et de l'agitation sociale.