Bêta-développements et propriétés fractales

Beta-expansions and fractal properties of beta-expansions

• Auteur / Autrice : Lixuan Zheng
• Direction : Lingmin Liao, Min Wu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/12/2019
• Etablissement(s) : Paris Est en cotutelle avec South China University of Technology
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (Créteil ; 1992-....) - Laboratoire Analyse et Mathématiques Appliquées / LAMA
• Jury : Président / Présidente : Yann Bugeaud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lingmin Liao, Min Wu, Yann Bugeaud, Derong Kong, Jun Wu, Bing Li, Stéphane Seuret, Arnaud Durand
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Derong Kong, Jun Wu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hausdorff, Mesures de

Dimension, Théorie de la (topologie)

Topologie ensembliste

Mots clés libres

Dimension de Hausdorff

Bêta-Développement

Résiduel

Approximation diophantienne

Récurrence uniforme

Fonction run-Length

Hausdorff dimension

Beta-Expansions

Residual

Diophantine approximation

Uniform recurrence

Run-Length function

Résumé

Comme bêta expansions, tout nombre réel peut être représenté en une série de base de nombre réel négatif, appelée négative bêta expansion. Il existe de nombreuses différences significatives entre les (positives) bêta expansions et négatives bêta expansions. Par exemple, la mesure physique de la négative bêta dynamique n'est plus équivalente à la mesure de Lebesgue. Par conséquent, de nombreuses propriétés qui avaient été discutées dans les bêta expansions devraient être réexaminées dans le cas de base négative. Un intervalle fondamental est l'intervalle constitué des nombres dont les premiers chiffres dans leur expansions sont donnés. L'estimation de la longueur d'un intervalle fondamental joue un rôle important dans l'étude des propriétés fractales des expansions. D'une part, nous allons étudier les propriétés fractales des ensembles de points étant donnés un taux de croissance des longueurs de ses intervalles fondamentaux en négative bêta expansion. Les dimensions et mesures de Hausdorff de ces ensembles sont concernées. Certaines propriétés topologiques de ces ensembles seront aussi étudiées. D'autre part, nous sommes également intéressés par l'espace des paramètres (les nombres bêta). Nous proposons de calculer les dimensions de Hausdorff des ensembles de bêta dans l'espace des paramètres pour lesquels le taux de croissance des longueurs des intervalles fondamentaux d'un point donné est prescrit.

Similar to the beta expansions, any real number can be represented in a negative real number base, called negative beta expansion. There are many significant differences between (positive) beta and negative beta expansions. For example the physical measure of the corresponding negative beta dynamics is no more equivalent to the Lebesgue measure. Consequently, many related properties which had been discussed in the beta expansions should be examined again in the negative base case. A basic interval is the interval consisting of the numbers whose first digits in their expansions is given. The estimation of the length of the basic intervals plays an important role in the study of the fractal properties of the expansions. On one hand, we are going to study the fractal properties of the sets of the points with a given growth rate of the lengths of its basic intervals in negative beta expansion. The Hausdorff dimensions and measures of such sets are concerned. Some topological properties of these sets will also be studied. On the other hand, we are also interested in the parameter space of beta's. We propose to calculate the Hausdorff dimensions of the sets of beta in the parameter space for which the growth rate of the lengths of basic intervals of a given point is prescribed.