Couverture de sommets sous contraintes

Vertex covering under constraints

• Auteur / Autrice : Valentin Gledel
• Direction : Eric Duchêne, Aline Parreau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 24/09/2019
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIRIS - Laboratoire d'Informatique en Image et Systèmes d'information (Rhône ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Angela Bonifati
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eric Duchêne, Aline Parreau, Miloš Stojaković
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Eric Sopena, Nicolas Nisse

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse combinatoire

Géodésiques (mathématiques)

Théorie des graphes

Mots clés libres

Théorie des graphes

Domination

Domination de puissance

Identification

Nombre géodésique

Jeux positionnels

Combinatoire

Combinatorics

Graph theory

Domination

Power dominating set

Identifiaction

Geodetic number

Positional games

Résumé

Cette thèse porte sur le problème de la couverture d'ensembles finis dans une structure discrète. Cette problématique très générale permet de nombreuses approches et nous faisons l'étude de certaines d'entre elles. Le premier chapitre introduit les notions qui seront indispensables à la bonne compréhension de cette thèse et fait un bref état de l'art sur certains problèmes de couvertures, en particulier le problème de domination dans les graphes. Le second chapitre aborde la domination de puissance, une variante du problème de domination qui a la particularité qu'on lui adjoint un phénomène de propagation. Nous étudions ce problème pour les grilles triangulaires et les grilles carrées de dimension 3. Dans le troisième chapitre, nous revenons à la domination classique mais dans un contexte ludique, avec le jeu de domination Maker-Breaker. Nous étudions la complexité du problème consistant à décider quel joueur gagne, la durée minimale d'une partie si les deux joueurs jouent parfaitement, et dérivons ce jeu pour la domination totale et dans une version Avoider-Enforcer. Le quatrième chapitre traite du nombre géodésique fort, un problème qui a la particularité de se couvrir à l'aide de plus courts chemins dans le graphe. Nous étudions le nombre géodésique fort de plusieurs classes de graphes ainsi que son comportement en relation avec le produit cartésien. Enfin, dans le cinquième chapitre, nous quittons le domaine des graphes pour étudier l'identification de points dans le plan par des disques. En plus de couvrir chaque point d'un certain ensemble par des disques, nous souhaitons que l'ensemble des disques couvrants chaque point soit unique. Nous donnons des résultats dans certains cas particuliers, des bornes dans le cas général et étudions la complexité du problème quand le rayon des disques est fixé

This PhD thesis concerns the problem of covering finite sets in a discrete structure. This very general issue allows numerous approaches and we study some of them. The first chapter introduces the notions that are essentials to the understanding of this thesis and makes a brief state of the art on some covering problems, including the domination problem. The second chapter addresses the power dominating problem, a variation of the dominating problem with a propagation process. We study this problem on triangular grids and square grids of dimension 3. In the third chapter, we come back to the classical domination but in the context of a game, with the Maker-Breaker domination game. We study the complexity of the problem of deciding which player has a winning strategy and the minimum duration of a game if both players play perfectly. We also derive this problem for total domination and for an Avoider-Enforcer version. The fourth chapter is about the strong geodetic number: a problem with the distinctive characteristic that the covering is made by shortest paths in the graph. We study the strong geodetic number of several graph classes and its behaviour for the Cartesian product. Lastly, in the fifth chapter, we leave the realm of graphs to study the identification of points using disks. More than just covering every point of a certain set, the subset of disks covering each point must be unique to that point. We give results on particular configurations, bounds on the general case and we study the complexity of the problem when the radius of the disks is fixed