Catégories et diagrammes de cordes pour les jeux concurrents

Categories and String Diagrams for Game Semantics

• Auteur / Autrice : Clovis Eberhart
• Direction : Tom Hirschowitz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique
• Date : Soutenance le 22/06/2018
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques (Chambéry)
• Jury : Président / Présidente : J. M. E. Hyland
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul-André Melliès, Pierre-Louis Curien, Vincent Danos
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Samuel Mimram

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Langages de programmation

Mots clés libres

Sémantiques de jeux

Sémantiques dénotationnelles

Langages concurrents

Game semantics

Denotational semantics

Concurrent languages

Résumé

La sémantique des jeux est une approche pour modéliser les langages de programmation dans laquelle les types sont interprétés par des jeux et les programmes par des stratégies. Ces modèles de jeux ont couvert des constructions fonctionnelles et impératives, des opérateurs de contrôle, etc. L'approche a récemment été étendue aux langages non-déterministes et concurrents, provoquant au passage un changement de perspective profond~: les parties sont maintenant organisées en une catégorie, sur laquelle les stratégies sont des préfaisceaux. La notion fondamentale d'innocence a aussi été caractérisée comme une condition de faisceau. Cette thèse s'attache à l'étude de quelques constructions apparaissant dans ces nouveaux modèles de jeux.D'abord, constatant que, dans plusieurs de ces modèles, l'étape cruciale consiste à définir une catégorie double de jeux et de parties, nous proposons une construction abstraite d'une telle catégorie double à partir de données de base, puis nous démontrons que, sous des hypothèses adéquates, le résultat obtenu permet en effet la construction des stratégies.Dans un second temps, nous établissons un lien entre deux techniques existantes pour définir les parties~: la technique standard, fondée sur les séquences justifiées, et une autre plus récente utilisant les diagrammes de cordes. Nous définissons un plongement (plein) de la première dans la seconde et prouvons qu'elles induisent essentiellement le même modèle.Enfin, nous proposons une axiomatisation des notions de jeu et de partie, de laquelle nous tirons une catégorie de jeux et stratégies. Nous raffinons ensuite les axiomes pour traiter l'innocence et nous démontrons que, sous des hypothèses adéquates, les stratégies innocentes sont stables par composition.

Game semantics is a class of models of programming languages in which types are interpreted as games and programs as strategies. Such game models have successfully covered diverse features, such as functional and imperative programming, or control operators. They have recently been extended to non-deterministic and concurrent languages, which generated an in-depth recasting of the standard approach: plays are now organised into a category, on which strategies are presheaves. The fundamental notion of innocence has also been recast as a sheaf condition. This thesis is a study of various constructions appearing in this new approach to game semantics.We first consider a pattern common to several game models of concurrent languages, in which games and plays are first organised into a double category, from which strategies are then derived. We provide an abstract construction of such a double category from more basic data, and prove that, under suitable hypotheses, the result allows the construction of strategies.Our second contribution is to relate two established techniques for defining plays: the standard one, based on justified sequences, and a more recent one, based on string diagrams. We (fully) embed the former into the latter and prove that they induce essentially the same model.Finally, we propose an axiomatisation of the notions of game and play, from which we formally derive a category of games and strategies. We also refine the axioms to deal with innocence, and prove that, under suitable hypotheses, innocent strategies are stable under composition.