Non-commutative homometric musical structures and chord distances in geometric pitch spaces

by Grégoire Genuys

Doctoral thesis in Mathématiques

Under the supervision of Jean-Paul Allouche and Moreno Andreatta.

defended on 20-09-2017

in Paris 6 , under the authority of École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) , in a partnership with Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....) (laboratoire) .

Thesis committee President: Isabelle Bloch.

Thesis committee members: Alessandra Carbone, Andrée Ehresmann.

Examiners: Franck Jedrzejewski, Athanase Papadopoulos.

keywords

• Homometry
• Musical distance
• Z-relation

Abstract

We study two main topics: non-commutative homometry and the notion of distance between musical chords. Two melodies are homometric if they share the same set of intervals. We transpose this notion to a chord sequence and more generally to semi-direct products, which allows to build a framework for the general study of homometry in non-commutative groups, such as the dihedral group. In the second part we define a mesure of distance between musical chords of different cardinalities, from a distance based on the notion of voice-leading.

keywords

• Homométrie
• Z-relation
• Groupe non-commutatif
• Transformée de Fourier
• Accords de musique
• Conduite de voix
• Fourier, Transformations de
• Théorie des ensembles
• Harmonie (musique)

Alternative Title

Etude de deux concepts mathématico-musicaux : l'homométrie non-commutative et les distances d'accords

Abstract

Nous étudions deux thématiques principales : l'homométrie non-commutative dans des produits semi-directs, et une notion de distance entre accords musicaux. deux melodies sont dites homométriques si elles possèdent le même ensemble d'intervalles : nous transposons cette notion a un enchainement d'accords et plus généralement a des produits semi-directs, ce qui permet d'élaborer un cadre pour l'étude de l'homométrie dans des groupes non-commutatifs, tels que le groupe diédral. nous définissons dans une deuxième partie une mesure de distances entre des accord musicaux n'ayant pas le même nombre de notes, a partir d'une distance basée sur le concept de voice-leading.