Continuum Random Cluster Model

• Auteur / Autrice : Pierre Houdebert
• Direction : David Dereudre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 22/05/2017
• Etablissement(s) : Lille 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transitions de phases

Processus ponctuels

Géométrie aléatoire

Percolation (physique statistique)

Modèle de Potts

Gibbs, Mesures de

Mots clés libres

Continuum Random Cluster Model

Modèle germe-Grain

Résumé

Cette thèse s'intéresse au Continuum Random Cluster Model (CRCM), modèle gibbsien de boules aléatoires où la densité dépend du nombre de composantes connexes de la structure. Ce modèle est une version continue du Random Cluster Model introduit pour unifier l'étude des modèles d'Ising et de Potts. Le CRCM fut introduit pour sa relation avec le modèle de Widom-Rowlinson, fournissant une nouvelle preuve de la transition de phase pour ce modèle. Dans cette thèse nous étudions dans un premier temps l'existence du CRCM en volume infinie. Dans le cas extrême des rayons non-intégrables, nous démontrons un résultat de non-unicité du CRCM en petite activité. Nous conjecturons de plus que l'unicité serait obtenue en grande activité. Une version faible de cette conjecture est démontré en dimension 1. Dans un second temps nous étudions la percolation du CRCM, qui s'intéresse aux propriétés de connectivité et en particulier à l'existence d'une composante connexe infinie. La percolation est d'autant plus cohérente pour le CRCM dont l'interaction dépend directement de la connectivité de la structure. Nous montrons dans cette thèse l'absence de percolation en petite activité et la percolation en grande activité. Ce résultat permet de généraliser la transition de phase du modèle de Widom-Rowlinson à des rayons non bornés.

This thesis focuses on the Continuum Random Cluster Model (CRCM), defined as a Gibbs model of random balls where the density depends on the number of cluster in the structure. This model is a continuum version of the Random Cluster Model introduced to unify the study of the Ising and Potts model. The CRCM was introduced for its links with the Widom-Rowlinson model, which led to a new proof of the phase transition for this model. In this thesis we first study the existence of the model in the infinite volume regime. In the extreme setting of non integrable radii, we prove for small activities the non-uniqueness of a CRCM. We conjecture that the uniqueness would be revovered for large activities. A weak version of the conjecture is proved.We alson study the percolation of the CRCM, which is the existence of at least one unbounded connected component. Percolation is more relevant for the CRCM since the interaction depends on the connectivity of the structure. We prove the absence of percolation for small activities and percolation for large activities. This results leads to the phase transition of the Widom-Rowlinson model with unbounded radii.