Positivité et propriétés qualitatives des solutions d'équations elliptiques du quatrième ordre

Positivity and qualitative properties of solutions of fourth-order elliptic equations

• Auteur / Autrice : Giulio Romani
• Direction : François Hamel, Bernhard Ruf, Enea Parini
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/10/2017
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Università degli studi (Milan, Italie). Dipartimento di Matematica Federigo Enriques
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Elvise Berchio
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Louis Dupaigne, Anna Dall'Acqua
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Filippo Gazzola, Frédéric Robert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Navier-Stokes, Équations de

Dirichlet, Problème de

Plaques et coques élastiques

Équations aux dérivées partielles

Équations différentielles elliptiques

Mots clés libres

Équations aux dérivées partielles

Problèmes du quatrième ordre

Positivité

Estimations a priori

Partial differential equations

Fourth-Order problems

Positivity

A-Priori bounds

Résumé

Cette thèse concerne l'étude de certains problèmes elliptiques d'ordre 4 et, notamment, des propriétés qualitatives des solutions. Ces problèmes apparaissent dans de nombreux domaines, par exemple dans la théorie des plaques et dans la géométrie conforme, et, comparés à leurs homologues du deuxième ordre, ils présentent des difficultés intrinsèques, surtout liées à l'absence de principe de maximum. Premièrement on étudie la positivité des solutions dans le cas des conditions au bord de Steklov, qui sont intermédiaires entre les conditions de Dirichlet et de Navier. Elles apparaissent naturellement dans l'étude des minimiseurs de la fonctionnelle de Kirchhoff-Love, qui représente l'énergie d'une plaque encastrée soumise à l'action d'une force extérieure, en fonction d'un paramètre σ. On trouve des conditions suffisantes sur le domaine pour que les minimiseurs de la fonctionnelle soient positifs. De plus, pour ces domaines on étudie une version généralisée de la fonctionnelle. En utilisant des techniques variationnelles, on examine l'existence et la positivité des états fondamentaux, ainsi que leur comportement asymptotique pour les valeurs pertinentes de σ. Dans la deuxième partie de la thèse on établit des estimations uniformes a priori pour des problèmes semi linéaires du quatrième ordre dans ℝ⁴, et donc avec des non linéarités exponentielles. On considère des conditions au bord soit de Dirichlet soit de Navier et on suppose que les non linéarités sont positives et sous-critiques. Nos arguments combinent des estimations uniformes près du bord et une analyse de blow-up. Enfin, en utilisant la théorie du degré, on obtient l'existence d'une solution.

This thesis concerns the study of fourth-order elliptic boundary value problems and, in particular, qualitative properties of solutions. Such problems arise in various fields, from plate theory to conformal geometry and, compared to their second-order counterparts, they present intrinsic difficulties, mainly due to the lack of the maximum principle. In the first part of the thesis, we study the positivity of solutions in case of Steklov boundary conditions, which are intermediate between Dirichlet and Navier boundary conditions. They naturally appear in the study of the minimizers of the Kirchhoff-Love functional, which represents the energy of a hinged thin and loaded plate in dependence of a parameter σ. We establish sufficient conditions on the domain to obtain the positivity of the minimizers of the functional. Then, for such domains, we study a generalized version of the functional. Using variational techniques, we investigate existence and positivity of the ground states, as well as their asymptotic behaviour for the relevant values of σ. In the second part of the thesis we establish uniform a-priori bounds for a class of fourth-order semi linear problems in ℝ⁴, and thus with exponential non linearities. We considered both Dirichlet and Navier boundary conditions and we suppose our non linearities positive and subcritical. Our arguments combine uniform estimates near the boundary and a blow-up analysis. Finally, by means of the degree theory, we obtain the existence of a positive solution.