Équations polyharmoniques sur les variétés et études asymptotiques dans une équation de Hardy-Sobolev

Some Polyharmonic equations on Manifolds and Blow-up Analysis of a Hardy-Sobolev equation

• Auteur / Autrice : Saikat Mazumdar
• Direction : Frédéric Robert, Dong Ye
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/06/2016
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Tobias Weth
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : David Dos Santos Ferreira, Yuxin Ge
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuel Hebey, Patrizia Pucci

Mots clés

Mots clés contrôlés

Green, Fonctions de

Équations -- Solutions numériques

Équations différentielles elliptiques

Sobolev, Inégalités de

Analyse harmonique (mathématiques)

Riemann, Variétés de

Mots clés libres

Équations elliptiques

Opérateurs polyharmoniques

Variétés riemaniennes

Constante de Sobolev

Constante euclidienne

Équation de Hardy-Sobolev

Comportement asymptotique

Identité de Pohozaev

Higher order elliptic equations

Best constants on manifolds

Struwe Decomposition

Coron-Type Solution

Topological Method

Hardy-Sobolev Equation

Pointwise control

Mass of the Green function

Pohozaev identity

Résumé

Ce mémoire est divisé en deux parties : Partie 1 : Nous obtenons des résultats d'existence pour des problèmes au limite mettant en jeu des opérateurs polyharmoniques conformément invariants. Nous nous plaçons indifféremment dans le cas d'une variété riemannienne avec ou sans bord. En particulier, nous montrons que la meilleure constante de Sobolev sur les variétés est exactement la constante euclidienne. En conséquence, nous montrons l'existence d'une solution d'énergie minimale lorsque la fonctionnelle descend en-dessous d'un seuil quantifié. Puis nous montrons l'existence de solutions de haute énergie en utilisant la méthode topologique de Coron. Nous généralisons la décomposition des suites de Palais-Smale comme somme de bulles sur une variété avec ou sans bord : il s'agit d'un résultat dans l'esprit du célèbre théorème de Struwe en 1984. Nous obtenons aussi une version du lemme de compacité-concentration de Pierre-Louis Lions sur les variétés. Partie 2 : Dans cette partie, nous effectuons une analyse de blow-up pour une équation de Hardy-Sobolev à croissance critique et à singularité évanescente au bord. En supposant que l'équation limite n'admet pas de solution minimisante, nous étudions le comportement asymptotique d’une suite de solutions de l'équation perturbée. Ici, la perturbation est la singularité à l'origine. Dans un premier temps, nous obtenons un contrôle ponctuel optimal de la suite de solutions. Dans un second temps, nous obtenons des informations précises sur le point d'explosion en utilisant une identité de Pohozaev

This memoir can be divided into two parts: Part 1: In this part we obtain some existence results for conformally invariant polyharmonic boundary value problems on a compact Riemannian manifold with or without boundary. In particular we show that the best constant of the Sobolev embedding on manifolds is same as the euclidean one, and as a consequence prove the existence of minimum energy solutions when the energy functionnal goes below a quantified threshold. Next we show the existence of high energy solution using the topological method of Coron. We generalize the decomposition of Palais Smale sequences as a sum of bubble on manifolds with or without boundary, a result in the spirit of Struwe's celebrated 1984 result and also an extension of PL Lions concentration compactness result on manifolds. Part2: In this part we do a blow-up analysis of the nonlinear elliptic Hardy-Sobolev equation with critical growth and vanishing boundary singularity. We assume that our equation does not admit minimising solutions, and study the asymptotic behaviour of a sequence of solution to the perturbed equation. Here the perturbation is the singularity at the origin. First we obtain optimal pointwise controlon the sequence and then obtain more precise informations on the localization of the blow-up point using the Pohozaev identity