Automorphismes géométriques des groupes libres : croissance polynomiale et algorithmes

Geometric outer automorphisms of free groups : polynomial growth and algorithm

• Auteur / Autrice : Kaidi Ye
• Direction : Martin Lustig, Arnaud Hilion
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/07/2016
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Gilbert Levitt
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pascal Weil, Luis Paris
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stefano Francaviglia, Alexandra Pettet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des graphes

Homéomorphismes

Groupes libres

Groupes, Théorie géométrique des

Groupes d'automorphismes

Mots clés libres

Automorphismes des groupes libres

Croissance polynomiale

Théorie de Bass-Serre

Graphes de groupes

Twists de Dehn

Classification de Nielsen-Thurston des homéomomorphismes de surface

Automorphisms of free groups

Polynomial growth

Bass-Serre Theory

Dehn twist

Nielsen-Thurston's Classification

Résumé

Un automorphisme (extérieur) φ d'un groupe libre Fₙ de rang fini n≥2 est dit géométrique s'il est induit par un homéomorphisme d'une surface. La question à laquelle nous intéressons est la suivante: Quels sont les automorphismes de Fₙ qui sont géométriques? Nous donnons une réponse algorithmique pour la classe des automorphismes à croissance polynomiale (en s'autorisant à remplacer un automorphisme par une puissance).Pour cela, nous sommes amenés à étudier les automorphismes de graphes de groupes. En particulier, nous introduisons deux transformations élémentaires d'automorphismes de graphes de groupes: les quotients et les éclatements. Pour le cas particulier où l'automorphisme est un twist de Dehn partiel, on obtient un critère pour décider quand un tel twist de Dehn partiel est un véritable twist de Dehn. En appliquant le critère à plusieurs reprises sur un twist de Dehn cumulé, nous montrons que soit on peut ＂déplier＂ ce twist de Dehn cumulé jusqu'à obtenir un twist de Dehn ordinaire, soit que φ est à croissance au moins quadratique (et par conséquent, n'est pas géométrique). Cela montre, au passage, que tout automorphisme du groupe libre à croissance linéaire admet une puissance qui est un twist de Dehn. Ce fait est connu des experts, et souvent utilisé, bien qu'il n'en existait pas de preuve formelle dans la littérature (à la connaissance de l'auteur). Pour conclure, on applique l'algorithme de Cohen-Lustig pour le transformer en twist de Dehn efficace, puis on applique l'algorithme Whitehead et des théorèmes classiques de Nielsen-Baer et Zieschang pour construire un modèle géométrique ou pour montrer qu'il n'est pas géométrique.

An automorphism φ of a free group Fₙ of finite rank n≥2 is said to be geometric it is induced by a homeomorphism on a surface.In this thesis we concern ourselves with answering the question: Which precisely are the outer automorphisms of Fₙ that are geometric? to which we give an algorithmical decision for the case of polynomially growing outer automorphisms, up to raising to certain positive power. In order to realize this algorithm, we establish the technique of quotient and blow-up automorphisms of graph-of-groups, which when apply for the special case of partial Dehn twist enables us to develop a criterion to decide whether the induced outer automorphism is an actual Dehn twist. Applying the criterion repeatedly on the special topological representative deriving from relative train track map, we are now able to either “unfold” this iterated relative Dehn twist representative level by level until eventually obtain an ordinary Dehn twist representative or show that φ has at least quadratic growth hence is not geometric. As a side result, we also proved that every linearly growing automorphism of free group has a positive power which is a Dehn twist automorphism. This is a fact that has been taken for granted by many experts, although has no formal proof to be found in the literature.In the case of Dehn twist automorphisms, we then use the known algorithm to make the given Dehn twist representative efficient and apply the Whitehead algorithm as well as the classical theorems by Nielsen, Baers, Zieschangs and others to construct its geometric model or to show that it is not geometric.