Etude d'un problème pour le bilaplacien dans une famille d'ouverts du plan

Study of a problem for the biharmonic operator, in a open family of plan

• Auteur / Autrice : Abdelkader Tami
• Direction : Philippe Tchamitchian, Boubakeur Merouani
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 01/12/2016
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Université Ferhat Abbas (Sétif, Algérie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Luminy (Marseille ; 19..-1993) - Laboratoire d’analyse, topologie, probabilités (UMR 6632) (Marseille) - Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Sétif (Algérie)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Russ
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Assia Benabdallah, Salah Drabla, Seddik Djabi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mohand Moussaoui, Colette Guillopé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polygones

Sobolev, Espaces de

Laplacien

Mots clés libres

Polygône

Bilaplacien

Singularité

Espace de Sobolev

Polygon

Biharmonic operator

Singularity

Sobolev spaces

Résumé

L’objet de cette thèse est l’étude du problème Δ 2uω = fω avec les conditions aux limites Uω = Δ uω = 0, le second membre étant supposé dépendre continûment de ω dans L2(ω), où ω = {(r, θ); 0 < r < 1, 0 < θ < ω} , 0 < ω ≤ π, est une famille de secteurs tronqués du plan. Si ω < π on sait d’après Blum et Rannacher (1980) que la solution de ce problème uω se décompose au voisinage de l’origine en uω = u1,ω + u2,ω + u3,ω, (1) où u1,ω, u2,ω sont les parties singulières de uω et u3,ω la partie régulière. En effet, au voisinage de l’origine u1,ω (resp. u2,ω, u3,ω) est de régularité H1+πω−ǫ (resp. H2+πω−ǫ, H4) pour tout Q > 0, tandis que la solution uπ appartient, au moins au voisinage de l’origine, à l’espace H4(π), où π est le demi-disque supérieur de centre 0 et de rayon r = 1. On voit clairement une résolution de la singularité près de l’angle π dont la description est l’objectif principal de ce travail. Le résultat obtenu est que la décomposition (1) de uω est uniforme par rapport à ω, lorsque ω → π, pour les meilleures topologies possibles pour chacun des termes, et converge terme à terme vers le développement limité de uπ au voisinage de 0.

In this work, we study the family of problems Δ 2uω = fω with boundary conditionuω = Δ uω = 0. There, the second member is assumed to depend smoothly on ω in L2(ω), where ω = {(r, θ); 0 < r < 1, 0 < θ < ω} , 0 < ω ≤ π, is a family of truncated sectors of the plane. If ω < π it is known from Blum et Rannacher (1980) that the solution uω decomposes as uω = u1,ω + u2,ω + u3,ω, (1) where u1,ω, u2,ω are singular and u3,ω is regular. Indeed, near the origin, u1,ω(resp. u2,ω, u3,ω) is of regularity H1+πω−ǫ (resp. H2+πω−ǫ, H4) for every Q > 0, while the solution uπ is, in the neighborhood of the origin again, of regularity H4. One clearly sees a resolution of the singularity near the angle π whose descriptionis the main objective of this work. The obtained result is that there exists a decomposition (1) of uω which is uniform with respect to ω, when ω → π, with the best possible topologies for each term, and which term by term convergestowards the Taylor expansion of uπ near 0.