Théorie de Teichmüller dynamique infinitésimale et domaines errants

Infinitesimal dynamical Teichmüller theory wandering domains

• Auteur / Autrice : Matthieu Astorg
• Direction : Xavier Buff
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 09/07/2015
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul infinitésimal

Teichmüller, Espaces de

Mots clés libres

Analyse quasiconforme

Dynamique complexe

Domaines errants

Implosion parabolique

Théorie de Teichmüller

Résumé

Soit f une fraction rationnelle de degré d au moins 2. McMullen et Sullivan ont introduit l'espace de Teichmüller dynamique Teich(f), qui est une variété complexe de dimension au plus 2d-2 et qui paramétrise la classe de conjugaison quasiconforme de f dans l'espace des modules ratd via une application holomorphe F allant de Teich(f) dans ratd.Nous donnons une nouvelle construction élémentaire de Teich(f), et nous prouvonsque F est une immersion, ce qui répond à une question posée par McMullen et Sullivan.Ce dernier résultat nous permet d'obtenir des preuves simplifiées de résultats dus à Makienko et Levin sur la rigidité de f sous une hypothèse d'expansivité le long de l'orbite critique. Dans une seconde partie, nous construisons une famille d'exemples d'endomorphismes polynômiaux de P^2(C) ayant un domaine errant. Nos exemples sont des produits fibrés, de la forme (z,w) -> ( f(z) + aw, g(w)). De plus, on construira des exemples à coefficients réels où le domaine errant intersectera R^2.

Let f be a rational map of degree d at last 2. McMullen and Sullivan introduced the dynamical Teichmüller space Teich(f), which is a complex manifold of dimension at most 2d-2. It paramtrizes the quasiconformal conjugacy class of f in the moduli space ratdvia a holomorphic map F from Teich(f) to ratd. We give a new and elementary construction of Teich(f), and we prove that the parametrization F is an immersion, answering a question of McMullen and Sullivan. This last result enables us to give simplified proofs of rigidity results of Makienko and Levin under the assumption of expansion along the critical orbit. In a second part, we construct a family of examples of polynomial endomorphisms of¨P^2(C) with a wandering domain. Our examples are skew-products, of the form (z,w) -> (f(z)+aw, g(w)). Moreover, we will construct examples with real coefficients where the wandering domain intersects R^2.