Points rationnels d'une famille de sous-schémas fermés dans une variété semi-abélienne

Rational points on a family of closed subschemes of a semiabelian variety

• Auteur / Autrice : Jérôme Von Buhren
• Direction : Carlo Gasbarri
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/02/2015
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Sinnou David
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sinnou David, Yann Bugeaud
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gaël Rémond, Marc Hindry

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation diophantienne

Points rationnels (géométrie)

Variétés abéliennes

Mots clés libres

Approximation diophantienne

Problème de Mordell-Lang plus Bogomolov

Méthode de Vojta

Variété semi-abélienne

Vojta’s method

Semiabelian variety

Diophantine approximation

Mordell-Lang plus Bogomolov problem

Résumé

Soit X un sous-schéma fermé d'une variété abélienne A sur un corps de nombres K. L'ancienne conjecture de Mordell-Lang nous assure que X(K) est une réunion finie de sous-ensembles a_i+Bj(K) où a_i est un point de X(K) et B_i est une sous-variété abélienne de A de sorte que le translaté aj+Bj soit contenu dans X. Dans cette thèse, nous montrerons un résultat permettant de majorer la hauteur des a_i en fonctions de la hauteur de X. On en déduira une majoration pour la hauteur des solutions d'une équation aux unités. En utilisant les mêmes méthodes, on obtiendra une majoration de la même forme pour la hauteur des points entiers d'une variété abélienne(plongé dans un espace projectif) privé d'un hyperplan.

Let be X a closed subscheme of an abelian variety on a number field K. Faltings proved the Mordell-Lang conjecture: there are points a_1 , ... ,a_n in X(K) and abelian subvarieties 8_1 , ... ,B_nin A such that a_i+B_i is in X and X(K) is equal to the union of aj+B_i(K). In this thesis, we proof a result wich gives a bound for the height of the point a_i with the height of X. We obtain a bound for the solutions of an unit equation. With the same method, we proof a similar result for the height of the integers points on an abelian variety (embedded in a projective space) minus a hyperplane.