Morphismes harmoniques et déformation de surfaces minimales dans des variétés de dimension 4

Harmonic morphisms and deformation of minimal surfaces in manifolds of dimension 4

• Auteur / Autrice : Ali Makki
• Direction : Marc Soret, Marina Ville
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 26/05/2014
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de mathématiques et physique théorique (Tours ; 1996-2017)
• Jury : Président / Présidente : John C. Wood
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul Baird, Ahmad El Soufi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : John C. Wood, Paul Baird

Mots clés

Mots clés contrôlés

Complexes (mathématiques)

Variétés topologiques à 4 dimensions

Riemann, Variétés de

Surfaces minimales

Surfaces (mathématiques) -- Déformation

Morphismes harmoniques

Mots clés libres

Morphismes harmoniques

Surfaces minimales

Structures presque complexe

Harmonic morphism

Minimal surface

Almost complex structure

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions la structure d’un morphisme harmonique F d’une variété riemannienne M4 dans une surface N2 au voisinage d’un point critique mO. Si mO est un point I critique isolé ou si M4 est compact sans bord, nous montrons que F est pseudo-Holomorphe par rapport à une structure presque hermitienne definie dans un voisinage de mO. Si M4 est compact sans bord, les fibres singuliers de F sont des surfaces minimales avec points de branchement. Ensuite, nous étudions des exemples de morphismes harmoniques due a Burel de (S4, gk,l) dans S2 où (gk,I) est une famille de métriques conforme à la métrique canonique. Nous construisons tout d’abord une application semi-Conforme Φk,l de S4 dans S2 en composant deux applications semi-Conformes régulières, F de S4 dans S3 et Φk,i, de S3 dans S2. II résulte de Baird-Eells que le fibres régulier de øk,l pour tout k, I sont minimales. Si [k] = [l] = 1, l’ensemble des points critiques est donnée par l’image réciproque du pâle nord: il consiste en deux 2-Sphères ayant deux points d’intersection. Si k, I 6= 1 l’ensemble des points critiques sont les images réciproques du pôle nord (de la même façon que pour k = t = 1 deux sphères, mais avec une multiplicité I) ainsi que la pré-Image du pôle sud (un tore) avec multiplicité k. Enfin, nous étudions une construction due à Baird-Ou de morphismes harmoniques d’une ensembles ouverts de (S2×S2, can) dans S2. Nous vérifions qu’ils sont holomorphe par rapport à une des quatre structures complexes canoniques hermitiennes.

In this thesis, we are interested in harmonic morphisms between Riemannian manifolds (Mm, g) and (Nn, h) for m > n. Such a smooth map is a harmonic morphism if it pulls back local harmonic functions to local harmonic functions: if ƒ : V → ℝ is a harmonic function on an open subset V on N and Φ-1(V) is non-Empty, then the composition ƒ ∘ Φ : Φ-1(V) → ℝ is harmonic. The conformal transformations of the complex plane are harmonic morphisms. In the late 1970's Fuglede and Ishihara published two papers ([Fu]) and ([Is]), where they discuss their results on harmonic morphisms or mappings preserving harmonic functions. They characterize non-Constant harmonic morphisms F : (M,g) → (N,h) between Riemannian manifolds as those harmonic maps, which are horizontally conformal, where F horizontally conformal means : for any x ∈ M with dF(x) ≠ 0, the restriction of dF(x) to the orthogonal complement of kerdF(x) in TxM is conformal and surjective. This means that we are dealing with a special class of harmonic maps.