Généralisations du critère d’indépendance linéaire de Nesterenko
Auteur / Autrice : | Simon Dauguet |
Direction : | Stéphane Fischler |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 10/06/2014 |
Etablissement(s) : | Paris 11 |
Ecole(s) doctorale(s) : | Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay |
Jury : | Président / Présidente : Sinnou David |
Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Fischler, Sinnou David, Francesco Amoroso, Jean-Benoît Bost, Tanguy Rivoal, Nicolas Ratazzi | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Francesco Amoroso, Keijo Väänänen |
Mots clés
Résumé
Cette thèse s'inscrit dans le prolongement du résultat d'Apéry donnant l'irrationalité de ζ (3) et de celui de Ball-Rivoal prouvant qu'il existe une infinité d'entiers impairs en lesquels la fonction zêta de Riemann prend des valeurs irrationnelles. Un outil crucial dans la démonstration de Ball-Rivoal est le critère d'indépendance linéaire de Nesterenko, qui a été généralisé par Fischler et Zudilin pour exploiter sous des hypothèses très restrictives la présence de diviseurs communs aux coefficients des formes linéaires. Une généralisation ultérieure due à Fischler s'applique lorsqu'on dispose d'approximations simultanées des nombres réels en question (et non plus de combinaisons Z-linéaires petites de ces nombres).Dans cette thèse, on améliore ce dernier résultat en affaiblissant considérablement les hypothèses sur les diviseurs. On démontre aussi un critère d'indépendance linéaire analogue, dans l'esprit de celui de Siegel. Dans une autre partie en commun avec Zudilin, on construit, en utilisant des identités hypergéométriques, des approximations simultanées de ζ (2) et ζ (3) qui permettent de démontrer en même temps l'irrationalité de ces deux nombres. En appliquant essentiellement le critère démontré précédemment, on en déduit une minoration des combinaisons Z-linéaires de 1, ζ 2) et ζ (3), sous des hypothèses de divisibilité très fortes sur les coefficients (si bien que l'indépendance linéaire sur Q de ces trois nombres est toujours conjecturale).