Calcul Eulériens sur permutations

Eulerian calculus arising from permutation statistics

• Auteur / Autrice : Zhicong Lin
• Direction : Jiang Zeng
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/04/2014
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....) - Institut Camille Jordan
• Jury : Président / Présidente : Dongsu Kim
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Chapoton, Sylvie Corteel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dominique Foata, Florent Hivert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Permutations (mathématiques)

Partitions (mathématiques)

Factorisation

Euler, Polynômes d'

Mots clés libres

Statistiques de permutations

Problèmes bijectifs

Fonctions quasi-symétriques eulériennes

Multipermutations

Q-polynômes eulériens

Q-polynômes eulériens

P-partitions

Permutations de Stirling

Permutation statistics

Bijective problems

Eulerian quasisymmetric functions

Multipermutations

Q-Eulerian polynomials

Hook factorization

P-partitions

Stirling permutations

Résumé

En 2010 Chung, Graham et Knuth ont démontré une remarquable identité symétrique sur les nombres eulériens et posé le problème de trouver un q-analogue de leur identité. En utilisant les q-polynômes eulériens introduits par Shareshian-Wachs, nous avons pu obtenir une telle q-identité. La preuve bijective que nous avons imaginée, nous a permis ensuite de démontrer d'autres q-identités symétriques, en utilisant un modèle combinatoire dû à Foata-Han. Entre temps, Hyatt a introduit les fonctions quasisymétriques eulériennes colorées afin d'étudier la distribution conjointe du nombre d'excédances et de l'indice majeur sur les permutations colorées. En appliquant le Decrease Value Theorem de Foata-Han, nous donnons d'abord une nouvelle preuve de sa formule principale sur la fonction génératrice des fonctions quasisymétriques eulériennes colorées, puis généralisons certaines identités eulériennes symétriques, en les exprimant comme des identités sur les fonctions quasisymétriques eulériennes colorées. D'autre part, en prolongeant les travaux récents de Savage-Visontai et Bec-raun, nous considérons plusieurs q-polynômes de descente des mots signés. Leurs fonctions génératrices factorielles et multivariées sont explicitement calculées. Par ailleurs, nous montrons que certains de ces polynômes n'ont que des zéros réels. Enfin, nous étudions la fonction génératrice diagonale des nombres de Jacobi Stirling de deuxième espèce, en généralisant des résultats analogues pour les nombres de Stirling et Legendre-Stirling de deuxième espèce. Il s'avère que cette fonction génératrice est une série rationnelle dont le numérateur est un polynôme à coefficients entiers positifs. En appliquant la théorie des P-partitions de Stanley nous trouvons des interprétations combinatoires de ces coefficients

In 2010 Chung-Graham-Knuth proved an interesting symmetric identity for the Eulerian numbers and asked for a q-analog version. Using the q-Eulerian polynomials introduced by Shareshian-Wachs we find such a q-identity. Moreover, we provide a bijective proof that we further generalize to prove other symmetric qidentities using a combinatorial model due to Foata-Han. Meanwhile, Hyatt has introduced the colored Eulerian quasisymmetric functions to study the joint distribution of the excedance number and major index on colored permutations. Using the Decrease Value Theorem of Foata-Han we give a new proof of his main generating function formula for the colored Eulerian quasisymmetric functions. Furthermore, certain symmetric q-Eulerian identities are generalized and expressed as identities involving the colored Eulerian quasisymmetric functions. Next, generalizing the recent works of Savage-Visontai and Beck-Braun we investigate some q-descent polynomials of general signed multipermutations. The factorial and multivariate generating functions for these q-descent polynomials are obtained and the real rootedness results of some of these polynomials are given. Finally, we study the diagonal generating function of the Jacobi-Stirling numbers of the second kind by generalizing the analogous results for the Stirling and Legendre-Stirling numbers of the second kind. It turns out that the generating function is a rational function, whose numerator is a polynomial with nonnegative integral coefficients. By applying Stanley’s theory of P-partitions we find combinatorial interpretations of those coefficients