Etude didactique des situations de recherche pour la classe concernant des jeux combinatoires de type Nim

Didactical study of research situations for the classroom concerning combinatorial games

• Auteur / Autrice : Ximena Colipan
• Direction : Sylvain Gravier, Denise Grenier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/01/2014
• Etablissement(s) : Grenoble
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Roland Bacher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eric Duchêne
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Viviane Durand-Guerrier, Michel Rigo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques -- Étude et enseignement

Mots clés libres

Situations recherche

Jeux d'Euclide

Jeux combinatoires

Jeux de type Nim

Research situations

Euclid game

Combinatorial games

Nim-type games

Résumé

La recherche que nous avons menée s'inscrit dans les projets de l'équipe de recherche Maths à Modeler. En particulier dans celui portant sur les situations de recherche pour la classe (SiRC). Cette recherche est centrée sur l'étude du rôle, pour l'apprentissage des savoir-faire fondamentaux, de l'activité mathématique, des jeux combinatoires et plus particulièrement des jeux de type Nim. Nous mettons sous l'expression « savoir-faire fondamentaux » les savoirs, méthodes et techniques qui sont à la base de toute activité mathématique : l'expérimentation, l'étude de cas particuliers, l'énoncé et l'étude de conjectures, la construction d'exemples et contre-exemples, la modélisation, l'élaboration et l'écriture de preuves, la définition d'objets, etc. (Grenier et Payan, 2002). Le sujet est la construction, l'expérimentation et l'analyse de SiRC basées sur des jeux combinatoires de type Nim pour des élèves, afin de leur faire construire et développer les savoir- faire indispensables à la mise en œuvre d'une « démarche mathématique ». Notre problématique porte donc sur l'identification des savoirs notionnels et des savoir-faire fondamentaux de l'activité mathématique qui sont mis en œuvre dans les jeux combinatoires de type Nim et la détermination des conditions et contraintes épistémologiques et didactiques favorisant l'apprentissage en classe de ces savoirs. Pour mener à bien notre étude, nous nous sommes appuyés d'une part sur certains éléments de la théorie des situations didactiques de Brousseau (Brousseau, 2004) et de la théorie des champs conceptuels de Vergnaud (Vergnaud, 1994) et, d'autre part, sur le modèle SiRC, contribuant à préciser ce modèle. Nous nous sommes servis de l'étude épistémologique et didactique des jeux de type Nim, pour mener les analyses mathématique et didactique de deux SiRC : la première, nommée « jeu d'Euclide géométrique », situation de jeu de type Nim, construite spécifiquement pour cette recherche, basée sur un jeu d'Euclide classique. La seconde, nommée le « jeu du chocolat », situation expérimentée régulièrement dans l'équipe Maths à Modeler, mais dont l'étude didactique n'avait pas vraiment été faite. Les analyses et expérimentations que nous avons menées montrent que les situations basées sur des jeux de type Nim, peuvent induire une activité mathématique qui va au-delà du développement et de la pratique de techniques mathématiques : Elles peuvent ouvrir l'accès à des savoir-faire plus généraux propres de l'activité mathématique.

This research is included in the project of the research group "Maths à modeler". In particular, in the part that corresponds to the study of "situations de recherche pour la classe" (SiRC). This research is focused in the study of the role played by the mathematical activity, the combinatorial games and particularly the games of Nim-type in learning the fundamental know-hows. We put under the term "fundamental know-hows" all the knowledge, methods and techniques found in all mathematical activity: experimenting, studying particular cases, conjecturing, building examples and counter-examples, modeling, proving, defining, etc. (Grenier et Payan, 2002). The main aim of this research is the construction, the experimentation and the analysis of SiRC based on combinatorial games of Nim-type for students designed to make them build and develop the know-hows required for the implementation of a "mathematical process". Our main problem is then identifying the fundamental and notional know-hows of the mathematical activity that are used in combinatorial games of Nim-type and establishing the epistemological and didactical conditions and constrains that favor the learning of these know-hows in the classroom. To achieve our aim, our research is supported, on one hand, by some aspects of the theory of didactical situation by Brousseau (Brousseau, 2004) and the theory of conceptual fields by Vergnaud (Vergnaud, 1994) and, on the other hand, by the SiRC model, where we also contribute to precise it. We based our research in the epistemological and didactical study of Nim-type games to conduct mathematical and didactical analysis of two SiRC: the first one, called "the geometrical Euclid game", is a situation of Nim-type created specifically for this research and based on the classical Euclid game. The second one, called "the chocolate game", is a situation frequently experimented by the research group math à modeler whose didactical analysis had not been done yet. The analysis and experimentations we have conducted show that the situations based on Nim-type games can lead to a mathematical activity that goes beyond developing and practicing mathematical techniques. They can open access to more general know-hows specific to the mathematical activity.