Groupes modulaires et groupes d'automorphismes de complexes de surfaces de type infini

Mapping class groups and automorphisms of complexes of surfaces of infinite type

• Auteur / Autrice : Maxime Nguyen
• Direction : Louis Funar
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/06/2012
• Etablissement(s) : Grenoble
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vlad Sergiescu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Athanase Papadopoulos, Pierre Lochak

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions d'une variable complexe

Mots clés libres

Groupe modulaire

Complexe de pantalons

Surface de type infini

Groupe de Thompson

Mapping class group

Pants complex

Surface of infinite type

Thompson group

Résumé

Soit sigma g,n une surface orientable de genre g avec n trous. Le groupe modulaire de sigma g,n agit sur divers complexes, comme le complexe de courbes et le complexe de décomposition en pantalons. Il a été prouvé, selon une approche initialement établie par Ivanov, que le groupe d'automorphismes de chacun de ces complexes est isomorphe au groupe modulaire. Cela implique notamment que le groupe des automorphismes extérieurs d'un sous-groupe d'indice fini du groupe modulaire est fini. Le but de cette thèse est de démontrer un résultat similaire s'appliquant à des surfaces de type infini de genre zéro. Pour cela, on définit un groupe modulaire asymptotique de ces surfaces, puis un complexe cellulaire localement infini sur lequel le groupe modulaire agit naturellement. On fait apparaitre des propriétés du groupe des automorphismes de chaque complexe en faisant agir les automorphismes sur des graphes auxiliaires. Le premier groupe modulaire étudiée est isomorphe au groupe de Thompson T. Le second est une extension du groupe modulaire universel de genre zéro.

Let sigma g,n be an orientable surface of genus g with n punctures. The mapping class group of sigma g,n acts on several complexes, for instance the curve complex or the pants complex of the surface. It is proved that the automorphism group of each of these complexes are isomorphic to the mapping class group. This implies in particular that the group of outer automorphisms of a finite index subgroup is finite. The purpose of this thesis is to prove a similar result on some surfaces of infinite type and genus zero. For this, we define an asymptotic mapping class group of these surfaces, and then a locally infinite cellular complex where the mapping class group acts naturally. It brings up some properties of the automorphism group of each cellular complex by making automorphisms act on auxiliary graphs. The first studied asymptotic mapping class group is isomorphic to the Thompson group T. The second one is an extension of the universal mapping class group of genus zero.