Étude des propriétés statistiques des moyennes de Fréchet dans des modèles de déformations pour l'analyse de courbes et d'images en grande dimension

Statistical properties of Fréchet means in deformable models for high-dimensional curves and images analysis

• Auteur / Autrice : Benjamin Charlier
• Direction : Dominique Bakry, Jérémie Bigot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique semi-paramétrique

Déformations isomonodromiques, Méthode des

Fréchet, Espaces de

Mots clés libres

Modèles de déformations

Moyenne de Fréchet

Statistique semi-paramétrique

Espace quotient

Résumé

Cette thèse porte sur l'analyse statistique de données sur lesquelles agissent des déformations. Dans un premier temps, nous présentons une nouvelle classe de modèles statistiques semiparamétriques dits de déformations. Ces modèles peuvent s'appliquer à l'étude de courbes temporelles ou d'images de grande dimension. Les données sont supposées être générées par une courbe/image moyenne qui est bruitée et sur laquelle agit un opérateur de déformation. Nous étudions l'estimation des paramètres d'intérêt de ces modèles dans le cas général, puis dans le cas particulier des courbes du plan sur lesquelles agissent les rotations, translations et homothéties. Dans un second temps, nous considérons les structures non-euclidiennes induites par les actions de groupes de déformations. Un des enjeux des statistiques dans de tels espaces est de généraliser la notion de moyenne euclidienne. C'est ainsi que nous étudions les propriétés qui garantissent l'existence de la moyenne de Fréchet dans le cas particulier du cercle unité muni de la distance de la longueur d'arc.

We are concerned with the statistical analysis of data observed with extra nuisance deformations. To this end, we first introduce a new class of semi-parametric deformable models. These models can be used to study the variability of time dependent curves or high dimensional images. We suppose that the curves or images at hand are generated by a noisy ideal mean pattern on which act some deformations operators. We then study the estimation of the parameters of interest of such models in the general case and in the particular case of planar curves observed with some rotation, translation and scaling. In a second part, we study the notion of mean in non-Euclidean spaces. More precisely, we study the conditions of existence of the Fréchet mean in the unit circle of the plane endowed with the arclength distance.