Algèbres de Hopf d'arbres et structures pré-Lie

Hopf algebras of trees and pre-Lie structures

• Auteur / Autrice : Abdellatif Saïdi
• Direction : Dominique Manchon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/12/2011
• Etablissement(s) : Clermont-Ferrand 2
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de mathématiques pures (Clermont-Ferrand)
• Jury : Président / Présidente : Slaïm Ben Farah
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Chapoton, Boujemaâ Agrebaoui, Didier Arnal, Mohamed Selmi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Chapoton, Boujemaâ Agrebaoui

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérades

Hopf, Algèbres de

Mots clés libres

Algèbre de Hopf

Arbres enracinés

Opérade

Algèbre pré-Lie

Algèbre NAP

Hopf algebra

Rooted trees

Operad

Pre-Lie algebra

NAP algebra

Résumé

Nous étudions dans cette thèse l’algèbre de Hopf H associée à l’opérade pré-Lie. L’espace des éléments primitifs du dual gradué est muni d’une structure pré-Lie à gauche notée ⊲ définie par l’insertion d’un arbre dans un autre. Nous retrouvons la relation de dérivation entre le produit pré-Lie ⊲ et le produit pré-Lie de greffe → sur les éléments primitifs du dual gradué de l’algèbre de Hopf de Connes Kreimer HCK. Nous mettons en évidence un coproduit sur le produit tensoriel H ⊗HCK, qui en fait une algèbre de Hopf dont le dual gradué est isomorphe à l’algèbre enveloppante du produit semi-direct des deux algèbres de Lie considérées. Nous montrons que l’espace engendré par les arbres enracinés qui ont au moins une arête, muni du produit d’insertion, est une algèbre pré-Lie (non libre) engendrée par deux éléments. Nous mettons en évidence deux familles de relations. De plus nous montrons un résultat similaire pour l’algèbre pré-Lie associée à l’opérade NAP. Finalement on introduit les opérades à débit constant et on montre que l’opérade pré-Lie s’obtient comme déformation de l’opérade NAP dans ce cadre.

We investigate in this thesis the Hopf algebra structure on the vector space H spanned by the rooted forests, associated with the pre-Lie operad. The space of primitive elements of the graded dual of this Hopf algebra is endowed with a left pre-Lie product denoted by ⊲, defined in terms of insertion of a tree inside another. In this thesis we retrieve the “derivation” relation between the pre-Lie structure ⊲ and the left pre-Lie product → on the space of primitive elements of the graded dual H0CK of the Connes-Kreimer Hopf algebra HCK, defined by grafting. We also exhibit a coproduct on the tensor product H⊗HCK, making it a Hopf algebra the graded dual of which is isomorphic to the enveloping algebra of the semidirect product of the two (pre-)Lie algebras considered. We prove that the span of the rooted trees with at least one edge endowed with the pre-Lie product ⊲ is generated by two elements. It is not free : we exhibit two families of relations. Moreover we prove a similar result for the pre-Lie algebra associated with the NAP operad. Finally, we introduce current preserving operads and prove that the pre-Lie operad can be obtained as a deformation of the NAP operad in this framework.