Séries de Dirichlet à deux variables et distribution des valeurs de fonctions arithmétiques

Dirichlet series with two variables and distribution of values of arithmetical functions

• Auteur / Autrice : Amandine Saldana
• Direction : Olivier Ramaré
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 29/06/2009
• Etablissement(s) : Lille 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions de concentration

Fonctions zêta

Mellin, Transformation de

Fourier, Transformations de

Distribution asymptotique (théorie des probabilités)

Prolongement analytique

Produits eulériens

Fonctions arithmétiques

Dirichlet, Séries de

Mots clés libres

Fonctions multiplicatives

Crible pondéré

Résumé

Nous traitons deux problèmes liés aux séries de Dirichlet. Nous étudions d'abord le prolongement analytique d'une certaine classe de séries de Dirichlet à deux variables: g(s_1,s_2,a,r) = somme_d=1 r(d) / a(d)s1ds2, où a(d) est une fonction multiplicative strictement positive et r(d) est une fonction multiplicative. Nous démontrons, sous certaines hypothèses, un théorème général qui permet d'approcher cette série de Dirichlet par une série connue, modulo une autre série pour laquelle nous obtenons des majorations très précises. Nous utilisons ensuite cet outil pour obtenir des résultats quantitatifs sur la distribution des valeurs de fonctions arithmétiques. Sous certaines hypothèses sur les fonctions a(d) et r(d), nous déterminons lim_x?8 1/X somme_d<x_a(d)<z r(d) (0<z=X) et mesurons la vitesse de convergence vers la loi limite. La classe de fonctions a(d) est beaucoup plus large que celle considérée jusqu'à maintenant. L'introduction de r(d) semble nouvelle.

We deal with two problems related to Dirichlet series. First we study the analytic continuation of a class of Dirichlet series with two variables: g(s_1,s_2,a,r) = sum_d=1 r(d) / a(d)s1ds2, where a(d) is a positive multiplicative function and r(d) is a multiplicative function. We prove, under suitable hypotheses, a general Theorem which allows us to approach this Dirichlet series by a known series, up to another series for which we get very precise upper bounds. Then we use this tool to get quantitative results on the distribution of values of arithmetical functions. Under suitable hypotheses on the functions a(d) and r(d), we determine lim_x?8 1/X sum_d<x_a(d)<z r(d) (0<z=X) and estimate the rate of convergence towards the limit distribution. The class of functions a(d) is much wider than that considered so far. The introduction of r(d) seems to be new.