Autour du problème de Lehmer relatif dans un tore

On the relative Lehmer problem in a torus

• Auteur / Autrice : Emmanuel Delsinne
• Direction : Francesco Amoroso
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs applications
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Caen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés (mathématiques)

Tore (géométrie)

Géométrie algébrique arithmétique

Extensions abéliennes

Approximation diophantienne

Théorie des nombres

Mots clés libres

Hauteurs

Résumé

Le problème de Lehmer consiste à minorer la hauteur de Weil d'un nombre algébrique en fonction de son degré sur Q. Si la question originelle de Lehmer reste aujourd'hui sans réponse, la conjecture optimale correspondante a été démontrée à un epsilon près. Par ailleurs, ce problème admet plusieurs généralisations. D'une part, on peut formuler le même type de conjecture en remplaçant le corps des rationnels par une extension abélienne d'un corps de nombres. D'autre part, on peut généraliser ces énoncés en dimension supérieure. Il s'agit alors de minorer la hauteur normalisée d'un point ou d'une sous-variété d'un tore ; dans ce cas, on substitue au degré un invariant plus fin : l'indice d'obstruction. Il est ensuite naturel de chercher à combiner ces deux généralisations : c'est le problème de Lehmer relatif dans un tore. Dans cette thèse, nous considérons tout d’abord le problème de Lehmer relatif unidimensionnel. Nous donnons une minoration pour la hauteur d'un nombre algébrique appartenant à une extension d'une extension abélienne d'un corps de nombres. Il s'agit d'une amélioration d'un théorème d’Amoroso et Zannier, obtenue à l’aide d’une démonstration techniquement plus simple. De plus, nous explicitons la dépendance de la borne inférieure en le corps de base. Puis nous abordons le problème de Lehmer relatif en dimension supérieure et minorons la hauteur d’une hypersurface en fonction de son indice d’obstruction sur une extension abélienne de Q. Enfin, nous obtenons un résultat analogue pour un point, sous réserve que celui-ci satisfasse une hypothèse technique. Nous montrons ainsi les conjectures les plus fines à un epsilon près.

Lehmer's problem consists in finding lower bounds for the Weil height of an algebraic number in terms of its degree over Q. Even if there is still no answer to Lehmer's original question, the sharpest corresponding conjecture has been proved up to an epsilon. Besides, there are several generalizations of this problem. On one hand, one can formulate the same kind of conjecture replacing the field of rationals by an abelian extension of a number field. On the other hand, one can generalize these statements in higher dimension. The point is to find lower bounds for the normalized height of a point or a subvariety of a torus; in this case, we substitute to the degree a more precise invariant: the obstruction index. It is then natural to try to combine these two generalizations : this is the relative Lehmer problem in a torus. In this thesis, we first consider the one dimensional relative Lehmer problem. We give a lower bound for the height of an algebraic number lying in an extension of an abelian extension of a number field. This is an improvement of a theorem of Amoroso and Zannier, obtained with a technically simpler proof. Furthermore, we precise the dependence of the lower bound on the ground field. Then, we focus on the Lehmer relative problem in higher dimension and find a lower bound for the normalized height of a hypersurface in terms of its obstruction index over an abelian extension of Q. Finally, we obtain an analogous result for a point, provided this point satisfies a technical hypothesis. Thus we show the sharpest conjectures up to an epsilon.