Réseaux ferroviaires et éclatement d'arbres réels

by Waldemar Barrera Vargas

Doctoral thesis in Mathématiques

Under the supervision of Martin Lustig.

defended on 2006

in Aix-Marseille 3 .

Alternative Title

Train tracks and blow-ups of R-trees

Abstract

Train tracks were introduced by W. Thurston to study diffeomorphims of surfaces. In1988 M. Bestvina and M. Handel introduced a combinatorial notion of train tracks for free group of finite rank. In the first part of this thesis we study the R-tree T provided with an action of a finitely generated group G, an automorphism [alpha] € Aut(G) and a homothety H : T → T with stretching factor [lambda] > 1 which is twisted by [alpha]. We define a blow-up of this objet. Under these hypotheses we give a proof of the following result : every group action an a real tree has a singular train track. In the second part, since the blow-up of real trees is in general not cocompact, we study a finite blow-up of minimal real trees. We give a new version of singular train tracks which are cocompact but not H-invariant. The last part is about the H-invariance of finite blow-up. We distinguish two cases : either the action of G is free, or else it is not free. In the first case, we prove the existence of a singular train track which is a finite graph. In the second case we prove the existence of a singular train track which is a graph with finitely many vertices.

keywords

• Réseaux (mathématiques)
• Groupes finis
• Automorphismes

Abstract

Les réseaux ferroviaires ont été introduits dans les années 1970 par W. Thurston pour l'étude des homéomorphismes des surfaces. Dans les années 1988 M. Bestvina et M. Handel ont développé une version combinatoire des réseaux ferroviaires appliquée aux groupes libres de rang fini. Dans la première partie de ce travail nous étudions les arbres réels munis d'une action par isométries d'un groupe G de type fini, d'un automorphisme [alpha] [appartient à] Aut (G) et d'une homothétie H : T → T de rapport [lambda] > 1, tordue par l'action de [alpha]. Nous lui construisons un éclatement. Dans un cadre général nous montrons qu'un tel éclatement a une structure de (G, [alpha])-réseau ferroviaire singulier. Dans la deuxième partie nous nous intéressons à surmonter un "défaut" de l'éclatement d'un arbre réel : l'absence de co-compacité. Nous introduisons le concept d'éclatement fini et nous montrons que celui-ci est muni de toutes les propriétés d'un éclatement sauf l'invariance par la homothétie H. La dernière partie est consacrée à étudier la H-invariance. Nous avons deux cas : l'action de G est libre, l'action de G n'est pas libre. Dans la première situation nous montrons l'existence d'un réseau ferroviaire singulier qui est un graphe fini. Dans la deuxième situation nous montrons l'existence d'un réseau ferroviaire qui est un graphe avec un nombre fini de sommets.