Recherche Avancée

Thèse soutenue

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Auteur / Autrice : Raphael Zentner
Direction : Andrei Teleman
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques pures
Date : Soutenance en 2006
Etablissement(s) : Aix-Marseille 1
Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Provence. Section sciences

Résumé

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Cette thèse comporte deux chapitres. Le premier traite des transformations logarithmiques généralisées sur la surface de Hopf. Nous démontrons que toute quatre-variété que l'on obtient par transformations logarithmiques sur deux fibres de la surface de Hopf et qui possède le même type d'homologie que la surface de Hopf est difféomorphe à la surface de Hopf. En d'autres termes, on n'obtient pas de "structure exotique" par cette procédure contrairement à de nombreux exemples de quatre-variétés où cette opération donne lieu à des structures différentiables exotiques. Le deuxième chapitre traite une généralisation de la théorie de Seiberg-Witten à des groupes structuraux PU(N). Le cas des PU(2)-monopoles a déjà été étudié intensivement depuis plus de dix ans avec le but de démontrer la conjecture de Witten : pour certaines quatre-variétés (dites de SW-type simple) les invariants de Donaldson, associés à des PU(2)-connexions anti-autoduales, s'expriment par les variants de Seiberg-Witten. En 2004, Kronheimer a introduit des généralisations des invariants de Donaldson, associés à des PU(N)-connexions anti-autoduales. Nous adaptons les stratégies de Pidstrigach-Tyurin, Okonek-Teleman et Teleman avec le but de démontrer une généralisation de la conjecture de Witten pour les PU(N)-ASD invariants. Nous obtenons deux résultats, l'un de portée générale, l'autre sur des surfaces kähleriennes, qui semblent indiquer que cette conjecture devrait être vraie