Dynamique des automorphismes des groupes libres

Dynamics of the homeomorphism of the free group

• Auteur / Autrice : Arnaud Hilion
• Direction : Gilbert Levitt
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 2004
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbre homologique

Groupes libres

Groupes d'automorphismes

Mots clés libres

Géométrie des groupes

Automorphisme des groupes libres

Arbres réels

Lamination

Dynamique

Réseaux ferroviaires

Résumé

Cette these est consacree a l'etude de la dynamique de l'homeomorphisme induit par un automorphisme du groupe libre sur son bord. Je m'interesse aux automorphismes tels que les points periodiques de l'homeomorphisme induit sont des points fixes (tout automorphisme possede une puissance qui verifie cette propriete). Je montre que l'ensemble des points d'accumulation des suites obtenues en iterant l'homeomorphisme sur un point du bord non fixe, est fini modulo l'action du sous-groupe fixe par translation a gauche. De plus, lorsqu'un tel point est dans le bord du sous-groupe fixe, j'obtiens qu'il est rationnel. La preuve repose sur une etude minutieuse d'un arbre reel laisse invariant par l'automorphisme, et demande un travail technique prealable sur les train-tracks relatifs ameliores de bestvina-feighn-handel. Ce resultat me permet de construire un nouvel invariant pour un automorphisme: son graphe dynamique. Je donne une description des graphes dynamiques que l'on obtient pour des automorphismes induits par des homeomorphismes pseudo-anosov de surfaces a bord. J'etudie en detail la dynamique des automorphismes du groupe libre de rang 2. Je donne aussi un exemple d'automorphisme du groupe libre de rang 4 possedant une orbite parabolique. Par ailleurs, je demontre que le stabilisateur d'un point fixe attractif d'un automorphisme a puissances irreductibles est infini cyclique. Pour le groupe libre de rang 2, j'en deduis que le stabilisateur d'un point du bord non rationnel est soit trivial, soit infini cyclique; et je donne a isomorphisme pres, la liste des groupes obtenus comme stabilisateurs d'un point du bord.

This thesis is dedicated to the study of the dynamics of the homeomorphism induced by an automorphism of the free group on its boundary. I focus on automorphisms such that the periodic points of the induced homeomorphism are fixed points (every automorphism has a power with this property). I prove that the set of accumulation points of the sequences obtained by iterating the homeomorphism on a point of the boundary which is not fixed, is finite up to the action of the fixed subgroup by left translations. Moreover, when such a point is in the boundary of the fixed subgroup, i prove that it is rational. I define a new invariant for an automorphism of the free group: its dynamical graph. I give an example of an automorphisme of the free group of rank 4 with a parabolic orbit. Besides, i prove that the stabilizer of an attractive fixed point of an irreducible, with irreducible powers, automorphism is infinite cyclic. I deduce that, for the free group of rank 2, the stabiliser of a point in the boundary, which is not rational, is either trivial or infinite cyclic; and i give, up to isomorphism, the list of groups obtained as stabilizer of a point in the boundary.