Points entiers et théorèmes de Bertini arithmétiques

Integral points and arithmetic Bertini theorems

• Auteur / Autrice : Pascal Autissier
• Direction : Emmanuel Ullmo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse diophantienne

Bertini, Théorèmes de

Mots clés libres

Point entier

Variété arithmétique

Théorie d'Arakelov

Capacité arithmétique

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude des points entiers sur les variétés arithmétiques. On y démontre une version effective du théorème d'existence de Rumely: on peut trouver beaucoup de points entiers sur des ouverts (assez grands) de variétés arithmétiques, tout en contrôlant la hauteur de ces points. La preuve est dans l'esprit des travaux de Moret-Bailly et d'Ullmo. Dans le cas d'une surface arithmétique X (ie dim(X) = 2), de tels points peuvent de plus être trouvés aussi près que l'on veut d'un compact assez gros (au sens de la théorie des capacités) dans la surface de Riemann X(C). Ceci est une généralisation du théorème de Fekete-Szegö. On prouve également un résultat d'équidistribution. Dans le cas d'une variété arithmétique (de dimension quelconque), on décrit un analogue arithmétique des théorèmes de Bertini: moyennant une extension de la base, on peut couper X par un hyperplan de telle sorte que l'intersection X' conserve certaines propriétés géométriques de X et que la hauteur de X' soit bornée explicitement. On donne aussi des applications du théorème de Rumely effectif aux schémas abéliens, aux équations diophantiennes, ainsi qu'au problème de Skolem.

This thesis is devoted to the study of integral points on arithmetic varieties. An effective version of Rumely's existence theorem is shown: a lot of integral points can be found on (large enough) open sets of arithmetic varieties, with a bound for the height of these points. The proof is in the spirit of Moret-Bailly's and Ullmo's works. In the case of an arithmetic surface X (ie dim(X) = 2), these points can moreover be found as close as wished to a big enough (in the sense of capacity theory) compact set of the Riemann surface X (C). This is a generalization of the Fekete-Szegö theorem. An equidistribution result is also proved. In the case of an arithmetic variety X (of arbitrary dimension), an arithmetic analogue of Bertini's theorem is described: after a base extension, we can cut X by a hyperplane so that the intersection X' keeps geometric properties of X and that the height of X' is explicitly bounded. We also give applications of the effective Rumely theorem to abelian schemes, to diophantine equations, and to the Skolem problem.