Trajectoires fermées et résonances

Periodic trajectories and resonances

• Auteur / Autrice : Jean-François Bony
• Direction : Johannes Sjöstrand
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Formules de trace

Schrödinger, Opérateur de

Mots clés libres

Résonances, Répartition

Dilatations analytiques, Méthodes des

Résumé

Dans cette thèse, on étudie la répartition des résonances d'un opérateur de Schrödinger semi-classique à "boite noire". Les résonances, définies par la méthode des dilatations analytiques, sont donc les valeurs propres complexes de l'opérateur dilaté qui n'est plus auto-adjoint. On commence par donner des majorations du nombre de résonances dans des petits domaines proches de l'axe réel pour des opérateurs à "boite noire". Pour ce faire, on construit des petites perturbations de l'opérateur dilaté qui chassent les résonances proches de l'axe réel et on identifie les résonances avec les zéros d'un déterminant. Comme corollaire, on obtient des majorations du nombre de résonances près d'une énergie critique et également lorsque l'ensemble des trajectoires fermées est de mesure nulle. A l'aide de ces majorations, on démontre des formules de traces locales valables dans des petits domaines. Ce genre de formules, qui généralise le fait que la trace d'un opérateur de rang fini est égale à la somme de ses valeurs propres, relie la trace d'un certain opérateur aux résonances. On obtient également une formule de Breit et Wigner sous des hypothèses assez générales. Enfin, grâce à ces formules de trace, on minore le nombre de résonances engendrées par une trajectoire fermée non dégénérée et par des points critiques. Pour cela, on utilise un argument tauberien et une formule de Gutzwiller dans le cas où la surface d'énergie n'est pas compacte. Cette formule calcule la trace d'un certain opérateur en fonction de la géométrie du flot du champ hamiltonien.

In this thesis, we study the asymptotic of the resonance's for a "black box" self-adjoint Schrödinger operator. The resonances, defined by complex scaling, are the complex eigenvalues of the scaled operator which is no more self-adjoint. We begin with some upper bounds of the number of resonances in small domains near the real axis for "black box" operators. To obtain this result, we construct small perturbations of the scaled operator which push the resonances closed to the real axis and we identify the resonances with the zeros of a determinant. As a corollary, we find upper bounds of the number of resonances near a critical energy level and when the periodic trajectories form a set of mesure zero. With these upper bounds, we prove local trace formulae in small domains. This kind of formulae, which generalizes the fact that the trace of a finite rank operator is the sum of its eigenvalues, joins the trace of a certain operator and the resonances. We also obtain a Breit-Wigner formula in a general setting. Using these formulae, one can get lower bounds of the number of resonances generate by a periodic non-degenerate trajectory and by critical points. The proof uses a tauberian argument and a trace formula of Gutzwiller with no compact energy level. This formula gives the trace of a certain operator according to the geometry of the hamiltonian field.