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Thèse soutenue

Méthodes seminumériques en algèbre différentielle; applications à l'étude des propriétés structurelles de systèmes différentiels algébriques en automatique

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Auteur / Autrice : Alexandre Sedoglavic
Direction : Marc Giusti
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences et techniques communes. Mathématiques
Date : Soutenance en 2001
Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique

Résumé

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Les travaux présentés dans ce mémoire se basent sur les apports de l'algèbre différentielle et les méthodes du calcul symbolique pour résoudre des problèmes d'automatique non linéaire qui ne se prêtent pas à une résolution numérique directe. Le problème de l'observabilité algébrique locale consiste à décider si les variables d'état intervenant dans un modèle peuvent être déterminées en fonction des entrées et des sorties supposées parfaitement connues. Nous présentons un algorithme probabiliste de complexité arithmétique polynomiale en la taille de l'entrée perme-ttant de tester l'observabilité algébrique locale en déterminant les variables non observables. L'utilisation du calcul modulaire permet d'obtenir pour ce test une complexité binaire elle aussi polynomiale. Cette complexité dépend linéairement de la probabilité de succès qui peut être arbitrairement fixée. Une implantation de cet algorithme permet de traiter des problèmes inaccessibles jusqu'à présent. À partir de ces méthodes mêlant calcul symbolique et calcul numérique, nous proposons une généralisation de la notion de platitude différentielle à certains modèles non linéaires décrits par des équations aux dérivées partielles. Un système différentiel ordinaire est différentiellement plat si ses solutions peuvent être localement paramétrées objectivement par des fonctions arbitraires. Pour étudier certains systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires, on se ramène à un système d'équations différentielles ordinaires par discrétisation; notre approche consiste à chercher des discrétisations plates telles que les paramétrages associés convergent lorsque le pas de discrétisation tend vers zéro. Cette méthode est illustrée par l'étude du problème de planification de trajectoire réalisée pour trois modèles non linéaires de dimension infinie: l'équation de la chaleur semilinéaire, l'équation de Burger avec diffusion et un modèle non linéaire de tige flexible.