Voiles et polyèdres de Klein, géométrie, algorithmes et statistiques

by Jacques-Olivier Moussafir

Doctoral thesis in Sciences : Mathématiques

Under the supervision of Vladimir Igorevich Arnold.

defended on 2000

in Paris 9 .

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Abstract

Les polygones de Klein sont des lignes polygonales qu'on peut associer aux convergents successifs d'un développement en fraction continue. Ils correspondent, du point de vue géométrique, à la frontière de l'enveloppe convexe des points entiers d'un secteur angulaire du plan. On nomme polyèdre de Klein la généralisation de cette notion en dimension supérieure. Les voiles sont leurs frontières. On donne dans une première partie une présentation sommaire de la géométrie entière, c'est-à-dire de la géométrie des objets de Rd définis par l'intermédiaire de points à coordonnées entières. On introduit notamment quelques invariants entiers, et on présente une méthode permettant de les calculer. On démontre dans une seconde partie que sous certaines hypothèses les polyèdres de Klein sont effectivement des polyèdres généralisés, et on précise la structure des voiles dites rationnelles. La troisième partie est consacrée à la description d'un algorithme de calcul des voiles en dimension 3. L'utilisation du programme correspondant permet par exemple de déterminer le domaine fondamental des voiles dites périodiques. On montre dans une quatrième partie quels rapports existent entre les bases de Hilbert de certains monoïdes et les voiles de dimension 2. On donne enfin les résultats empiriques concernant la distribution de deux invariants entiers associés aux voiles de dimension 2 : l'aire entière des faces bi-dimensionnelles, et le nombre de leurs points extrêmaux.