Stabilisation de systèmes distribués semilinéaires : domaines presque étoilés et inégalités intégrales généralisées

• Auteur / Autrice : Patrick Martinez
• Direction : Vilmos Komornik
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de divers problèmes concernant la stabilisation de systèmes vibrants. On considère un système vibrant soumis à un terme d'amortissement ; on étudie le comportement asymptotique de l'énergie (quantité qui mesure les vibrations du système). Dans ce travail, on améliore sensiblement divers résultats antérieurs de stabilisation uniforme. On considère d'abord le système de l'équation des ondes stabilise par un feedback frontière linéaire : à l'aide de multiplicateurs adaptés au domaine, on affaiblit les conditions géométriques sous lesquelles on peut montrer que l'énergie décroit exponentiellement vers zéro avec un taux de décroissance explicite ; ce résultat permet d'améliorer l'estimation du taux de décroissance de l'énergie dans des domaines polygonaux particuliers (les polygones réguliers). On étudie ensuite le système d'élasticité relatif aux cristaux cubiques ; ce système n'est pas homogène isotrope. A l'aide d'un feedback frontière non linéaire bien choisi, on obtient des résultats de stabilisation uniforme. Enfin, on considère une classe de problèmes dissipatifs non linéaires. On introduit une nouvelle méthode permettant d'estimer le taux de décroissance de l'énergie sous des hypothèses très peu restrictives sur le feedback. Cette méthode permet de compléter et d'améliorer de nombreux résultats antérieurs lorsque le feedback est monotone (plus faible que tout polynome en zéro, ou borne à l'infini, ou linéaire mais dégénère au bord), et d'obtenir des résultats nouveaux pour une classe de feedbacks non monotones.