Le problème de Dirichlet pour les surfaces à courbure moyenne prescrite

Dirichlet problem for prescribed mean curvature surfaces

• Auteur / Autrice : Pascal Collin
• Direction : Harold William Rosenberg
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1992
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Nous traitons ici essentiellement de l'unicite des solutions au probleme de dirichlet associe a l'equation des surfaces a courbure moyenne prescrite sur des domaines plans et non-bornes. On demontre un theoreme general donnant des estimations, au voisinage de l'infini, de la difference de deux solutions distinctes au probleme de dirichlet; duquel on deduit notamment un principe du maximum a l'infini pour ce type d'equation. Dans le cas particulier ou la courbure moyenne est identiquement nulle, on montre que l'unicite des solutions n'est pas necessairement acquise (meme pour des domaines simplement connexes) et que les estimations donnees sont les meilleures possible. On exhibe, pour cela, des fonctions (sur le bord d'une bande et d'un secteur) admettant une infinite d'extensions minimales au domaine et dont on maitrise la croissance a l'infini. Cependant, on demontre l'existence et l'unicite de la solution pour des donnees continues par morceaux et bornees sur le bord d'un domaine convexe distinct du demi-plan ou les solutions forment alors une famille a un parametre. Lorsque le domaine est une bande et pour des donnees lineaires au bord (plus generalement s'il existe des directions asymptotiques), on montre aussi l'unicite (helicoide ou plan). Enfin, lorsque la moyenne est une constante non nulle et le domaine est une bande, on construit une famille de contre-exemples a une conjecture de r. Finn (1965)