Thèse soutenue

Méthodes multi-échelles : approches non intrusives, problèmes advection-dominés et questions reliées non-intrusive implementation
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Auteur / Autrice : Rutger Biezemans
Direction : Claude Le brisAlexei Lozinski
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 21/09/2023
Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne) - Institut national de recherche en informatique et en automatique (France)
Jury : Président / Présidente : Rémi Abgrall
Examinateurs / Examinatrices : Claude Le bris, Alexei Lozinski, Pascal Omnes, Barbara Verfürth, Karen Veroy-Grepl, Frédéric Legoll, Guillaume Enchéry
Rapporteurs / Rapporteuses : Pascal Omnes, Barbara Verfürth

Résumé

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Cette thèse porte sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles (EDP) multi-échelles, et en particulier sur la méthode dite des éléments finis multi-échelles (MsFEM). Celle-ci est une méthode de type éléments finis qui consiste en une approximation de Galerkin de l'EDP sur une base problème-dépendante. Trois difficultés particulières liées à cette méthode sont abordées dans cette thèse. Premièrement, puisque la MsFEM utilise une base problème-dépendante, la méthode ne peut être facilement implémentée dans des codes industriels génériques. Cela freine la diffusion de la MsFEM au-delà des environnements académiques. Une méthodologie générique est proposée pour convertir la MsFEM en un problème effectif qui peut être résolu par des codes génériques. Il est démontré par des résultats théoriques ainsi que des expériences numériques que la nouvelle méthodologie est aussi précise que la MsFEM originale. Deuxièmement, les MsFEM adaptées aux problèmes advection-dominés sont étudiées. Ce régime spécifique rend instables les discrétisations naïves. Une explication est trouvée pour l'instabilité de certaines méthodes proposées précédemment. Des expériences numériques montrent la stabilité d'une MsFEM avec des conditions aux limites de type Crouzeix-Raviart enrichie par des fonctions bulles. Troisièmement, une nouvelle analyse de convergence pour la MsFEM est présentée, permettant pour la première fois d'établir la convergence sous des hypothèses de régularité minimales. Cette démarche est importante pour réduire l'écart entre la théorie pour la MsFEM et son application en pratique, où les hypothèses de régularité habituelles sont rarement satisfaites.