Géométrie de l'outre-espace des groupes d'Artin à angles droits

Geometry of outer space for right-angled Artin groups

• Auteur / Autrice : Adrien Abgrall
• Direction : Vincent Guirardel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 26/06/2025
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IRMAR - IRMAR
• Jury : Président / Présidente : Juan Souto
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vincent Guirardel, Piotr Przytycki‎, Jing Tao
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ruth Charney, Anthony Genevois

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes d'Artin-Tits

Groupes d'automorphismes

Mots clés libres

Groupes d’automorphismes

Groupes d’Artin

Complexes cubiques CAT(0)

Outre-Espace

Automorphism groups

Artin groups

CAT(0) cube complexes

Outer space

Résumé

Cette thèse étudie la géométrie de l’outre-espace non-twisté associé à un groupe d’Artin à angles droits A, construit par Charney, Stambaugh et Vogtmann en 2017. Il s’agit d’un espace classifiant K pour un sous-groupe d’indice fini du groupe U(A) des automorphismes extérieurs non-twistés de A. Sa structure simpliciale en fait un modèle à la fois combinatoire et géométrique de U(A). Après avoir rappelé les outils nécessaires et la construction originale de K (Chapitre 1), on commence par établir des propriétés des complexes cubiques CAT(0) associés à A, et de certaines applications d’écrasement d’hyperplans (Chapitre 2). Ceci nous permet au Chapitre 3 de proposer une reformulation géométrique et simplifiée de la construction de K. On utilise ce point de vue au Chapitre 4 pour exhiber des outre-espaces relatifs, qui classifient certains sous-groupes de McCool de U(A), apparaissant naturellement comme des stabilisateurs pour l’action de U(A) sur les classes de conjugaison de A. Enfin, au Chapitre 5, on étudie les symétries de K en tant que complexe simplicial. On propose des conditions suffisantes pour que ces symétries proviennent toutes de l’action de U(A), et on caractérise les cas où K a une structure de produit direct, en s’appuyant sur de nombreux exemples.

This thesis studies the geometry of untwisted outer space for a right-angled Artin group A. This space was constructed by Charney, Stambaugh, and Vogtmann in 2017. It is a classyfing space K for a finite-index subgroup of the group U(A) of untwisted outer automorphisms of A. It is simplicial, hence it is both a combinatorial and a geometric model for U(A). After recalling the necessary tools and the original construction of K (Chapter 1), we prove properties of CAT(0) cube complexes associated with A and of hyperplane collapse maps (Chapter 2). Then, in Chapter 3, we give a new, simplified geometric description for K. We use this viewpoint in Chapter 4 to create relative outer spaces, classifying spaces of some McCool subgroups of U(A), which appear naturally as stabilizers for the action of U(A) on the conjugacy classes of A. Finally, in Chapter 5, we study the symmetries of K as a simplicial complex. We give sufficient conditions for all such symmetries to come from the action of U(A), and we characterize the cases where K has a direct product structure, with the help of many examples.