Punctual Hilbert schemes of irreducible curve singularities

Schéma de Hilbert ponctuel des singularités de courbes irréductibles

• Auteur / Autrice : Wenhao Zhu
• Direction : Hussein Mourtada, Mounir Hajli
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/11/2025
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Guillaume Rond
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Guillaume Rond, Eleonore Faber, Huayi Chen, Nancy Abdallah
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Evelia García Barroso, Laurent Evain
• DOI : 10.70675/2bd510dcz39b0z455ezab56z7f66a6d7918c

Mots clés

Mots clés contrôlés

Schémas de Hilbert

Singularités (mathématiques)

Courbes algébriques

Groupes de Grothendieck

Semigroupes

Mots clés libres

Géométrie algébrique

Singularités

Schéma de Hilbert ponctuel

Anneau de Grothendieck des variétés

Semi-Groupe

Syzygie de semi-Module

Algebraic geometry

Singularities

Punctual Hilbert scheme

Grothendieck ring of varieties

Semi-Group

Syzygy of semi-Module

Résumé

S'inspirant des travaux de Soma et Watari, nous définissons une structure arborescente sur l'ensemble des sous-semi-modules d'un semi-groupe Gamma associé à une singularité de courbe irréductible (C,O). En nous appuyant sur les résultats d'Oblomkov, Rasmussen et Shende, nous montrons que pour certaines singularités, cet arbre encode certains aspects de la structure géométrique des schémas de Hilbert ponctuels de (C,O). Comme application, nous calculons la fonction zêta de Hilbert motivique pour certaines courbes singulières. Un point du schéma de Hilbert correspond à un idéal dans l'anneau des sections globales de (C,O). Nous étudions la géométrie de sous-ensembles de ces schémas de Hilbert définis par des contraintes sur le nombre minimal de générateurs de l'idéal définissant, et décrivons certaines de leurs propriétés géométriques.

Inspired by the work of Soma and Watari, we define a tree structure on the set of sub-semimodules of a semi-group Gamma associated to an irreducible curve singularity (C,O). Building on the results of Oblomkov, Rasmussen and Shende, we show that for certain singularities, this tree encodes some aspects of the geometric structure of the punctual Hilbert schemes of (C,O). As an application, we compute the motivic Hilbert zeta function for some singular curves. A point of the Hilbert scheme corresponds to an ideal in the ring of global sections on (C,O). We study the geometry of subsets of these Hilbert schemes defined by constraints on the minimal number of generators of the defining ideal, and describe some of their geometric properties.