Produits en couronne libres de groupes quantiques compacts, algèbres d’opérateurs et propriétés d’approximation

Free wreath products of quantum groups, operator algebras and approximation properties

• Auteur / Autrice : Arthur Troupel
• Direction : Pierre Fima
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/07/2025
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Georges Skandalis
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claire Debord, Lyudmila Turowska
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Roland Vergnioux, Kenny Commer
• DOI : 10.70675/f0b7acb7zddbfz482fzbf37z25362bfb2108

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes quantiques

C*-algèbres

Algèbres de von Neumann

Mots clés libres

Groupes quantiques

Produits en couronne libres

C*-Algèbres

Algèbres de von Neumann

Graphes de C*-Algèbres

Quantum groups

Free wreath products

C*-Algebras

Von Neumann algebras

Graphs of C*-Algebras

Résumé

Dans cette thèse nous nous intéressons aux produits en couronne libres de groupes quantiques compacts. La première partie de ce travail consiste en une présentation de l'état de l'art concernant cette construction définie d'abord par Bichon, et plus généralement de la théorie des groupes quantiques compacts de Woronowicz. Nous présentons aussi les principaux résultats de propriétés d'approximation pour les groupes quantiques et ce qui était connu jusqu'à présent relativement aux différentes constructions telles que le produit libre, notamment le cas amalgamé, le produit semi-direct, et enfin le produit en couronne libre. Nous présentons ensuite les résultats obtenus en étudiant les algèbres d'opérateurs des groupes quantiques qui sont des produits en couronne libres comme des C*-algèbres fondamentales de graphes de C*-algèbres. Cette représentation des algèbres permet d'utiliser certains résultats de stabilité de propriétés d'approximation pour montrer qu'elles passent au produit en couronne libre par le groupe quantique de permutations. La deuxième partie de ce travaille repose sur une nouvelle définition du produit en couronne libre, où l'unique hypothèse est que le second groupe quantique considéré agisse sur une C*-algèbre de dimension finie. La définition donnée est compatible avec les anciennes définitions et permet de décrire les C*-algèbres en donnant une représentation dans un produit libre amalgamé itéré, qui permet d'étendre les résultats de stabilité des propriétés d'approximations. Enfin, nous présentons une méthode systématique pour obtenir une action du produit en couronne libre sur une C*-algèbre en partant d'une action du premier groupe quantique considéré sur une première C*-algèbre. Cette action coincide avec la comultiplication lorsque la première action considérée est elle-même la comultiplication.

In this thesis we are interested in free wreath products of compact quantum groups. The first part of this work consists in a presentation of the state of the art concerning this construction, first defined by Bichon, and more generally of Woronowicz's theory of compact quantum groups. We also present the main results about approximation properties for quantum groups and what was known until now in relation to different constructions such as the free product, especially the amalgamated case, the semi-direct product, and finally the free wreath product. We then present the results obtained by studying the operator algebras of quantum groups which are free wreath products as C*-fundamental algebras of graphs of C*-algebras. This representation of the algebras makes it possible to use certain stability results for approximation properties to show that they are preserved by taking the free wreath product by the quantum group of permutations. The second part of this work is based on a new definition of the free wreath product, where the only hypothesis is that the second quantum group considered acts on a finite-dimensional C*-algebra. The given definition is compatible with the old definitions and makes it possible to describe C*-algebras by giving a representation in an iterated amalgamated free product, which allow to extend the stability results for the approximation properties. Finally, we present a systematic method for obtaining an action of the free wreath product on a C*-algebra starting from an action of the first quantum group considered on a C*-algebra. This action coincides with the comultiplication when the first action considered is itself the comultiplication.