Aspects asymptotiques des groupes localement compacts : équivalence mesurée et croissance des cocyles

Asymptotic aspects of locally compact groups : measured equivalence and growth of cocycles

• Auteur / Autrice : Juan Paucar
• Direction : Romain Tessera
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/06/2025
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Bruno Duchesne
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Damien Gaboriau, Anna Erschler, Goulnara N. Arzhantseva, Amandine Escalier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Uri Bader, Roman Sauer
• DOI : 10.70675/507cdf55z6532z4908z8485z37306b85c70c

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des groupes

Cocycles

Croissance

Espaces de Banach

Mots clés libres

Théorie mesurée des groupes

Profil isoperimétrique

Probabilité de retour vers l'origine

Actions des groupes sur des espaces de Banach

Croissance des cocycles

Groupes localement compacts

Measured group theory

Locally compact groups

Isoperimetric profile

Return probability

Group actions

Banach spaces

Growth of cocycles

Résumé

Cette thèse est divisée en trois chapitres et une petite introduction. Dans le premier chapitre, on se concentre sur l'équivalence mesurée quantitative et les versions asymétriques de cette notion dans le cas des groupes moyennables localement compacts, compactement engendrés et unimodulaires. On étend des résultats obtenus par Delabie, Koivisto, Le Maître et Tessera au cas localement compact. Plus spécifiquement, on construit un couplage de sous-groupe mesuré L∞ à partir d'un plongement régulier entre ces groupes (en utilisant des idées de Bader et Rosendal). On obtient également la monotonicité du profil isopérimétrique sous l'existence d'un couplage de sous-groupe mesuré Lp qui est aussi grossièrement m à 1. Dans le deuxième chapitre, on obtient des résultats liés à la probabilité de retour vers l'origine pour les groupes de type fini. Plus spécifiquement, on démontre une monotonicité de la probabilité de retour dans le cadre de l'existence d'un couplage de quotient mesuré quantitatif (une version asymétrique de l'équivalence mesurée quantitative). Comme conséquence, on donne une autre démonstration de l'invariance de la probabilité de retour par équivalence bi-Lipschitz. Dans le troisième chapitre, on se concentre sur un analogue Lp d'un résultat de Lafforgue, qui dit que si un groupe localement compact compactement engendré n'a pas la propriété (T), il existe un espace d'Hilbert H, une représentation unitaire π : G → U(H) et un cocycle b ∈ Z1(G, π) tel que sup|g|≤n ||b(g)||H croît au moins comme n1/2. On démontre que pour les espaces Lp, on obtient un cocycle b tel que sup|g|≤n ||b(g)||E croît au moins comme n1/p.

In this thesis, we focus our study to the study of asymptotic properties of groups. In the first chapter we study properties related to the measured equivalence of amenable locally compact compactly generated groups. More specifically, we extend the notion of Lp-measured subgroups couplings; a quantitative asymmetric version of measure equivalence that was introduced by Delabie, Koivisto, Le Maître and Tessera for finitely generated groups, to the setting of locally compact compactly generated unimodular groups. As an example of these couplings; using ideas from Bader and Rosendal, we prove a dynamical criteria for the existence of regular embeddings between amenable locally compact compactly generated unimodular groups, namely the existence of an L∞-measured subgroup coupling that is coarsely m to 1. We then proceed to prove that the existence of an Lp-measured subgroup that is coarsely m to 1 implies the monotonicity of the Lp-isoperimetric profile. We obtain as a corollary that the Lp-isoperimetric profile is monotonous under regular embeddings, as well as coarse embeddings, between amenable unimodular locally compact compactly generated groups. In the second chapter, we obtain a monotonicity result for the return probability to the origin for a assymetric version of quantitative orbit equivalence between groups. As a consequence we obtain another proof that the return probability is invariant under biLipschitz equivalence. In the third chapter, we study an Lp-version of a result of Lafforgue, saying that a locally compact compactly generated group not having property FLp has a certain isometric linear representation on a Lp-space E, π : G → O(E) and a cocycle b ∈ Z1(G, π) such that sup|g|≤n ||b(g)||E grows at least as n1/p.