Réduction des degrés de liberté par technique de Sérendipité pour les complexes discrets avancés

Serendipity DOF reduction in advanced discrete complexes

• Auteur / Autrice : Marwa Salah
• Direction : Daniele Antonio Di Pietro
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et modélisation
• Date : Soutenance le 15/12/2025
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Francesca Rapetti
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérôme Droniou, Lourenço Beirão da Veiga
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Omar Lakkis, Daniele Boffi
• DOI : 10.70675/4a40b384zc960z41ecz9a28z56ced594f8de

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sérendipité

Schémas de Hilbert

Mots clés libres

Méthodes de de Rham discrètes

Serendipity

Formulation mixte

Degré de liberté

Discrete de Rham method

Serendipity

Mixed formulation

Degrees of freedom

Résumé

Dans cette thèse, on s'intéresse à la technique de sérendipité pour les complexes discrets. Les complexes de Hilbert jouent un rôle important dans la construction des schémas numériques stables pour certains EDPs, puisqu'ils présentent des propriétés fondamentales garantissant cette stabilité. C'est pourquoi, on cherche à discrétiser ces complexes sur des maillages polytopaux, tout en reproduisant au niveau discret ces propriétés. Cependant, les versions discrètes de ces complexes présentent un grand nombre de degrés de liberté ((DOF, de l'anglais emph{Degrees of Freedom})). D'où la technique de sérendipité qui consiste à réduire le nombre de DOFs dans les espaces discrets, tout en préservant toujours les propriétés algébriques et analytiques essentielles à la stabilité des schémas numériques. Ceci permet de réduire le coût de calcul sans modifier le taux de convergence. Ainsi, le travail de cette thèse, illustré essentiellement par deux articles, a pour but de construire des versions discrètes de certains complexes avec moins de DOFs. La première contribution porte sur le complexe bidimensionnel divdiv, pour lequel on construit, à partir d'une version discrète de ce complexe, une version discrète de sérendipité (avec moins de DOFs), et on montre qu'elle présente les mêmes propriétés que la version initiale. La deuxième contribution présente la construction d'un complexe discret de sérendipité à partir de trois complexes: étant donné un complexe discret, sa version sérendipité et une variante de ce complexe à régularité supplémentaire, on construit la version sérendipité de ce dernier. Enfin, la dernière contribution ouvre la voie à d'autres sujets, on propose une méthode HHO pour le problème de Brinkman pour les fluides non newtoniens, et on présente une estimation de l'erreur valable dans tous les régimes (du Darcy pur au Stokes). Pour conclure, je souhaite que ce travail ne soit pas perçu comme une fin, mais comme un point de départ pour de futures explorations.

The work presented in this thesis focuses on the serendipity technique applied to discrete complexes. Hilbert complexes play an important role in designing stable numerical schemes for certain partial differential equations (PDEs), since they feature fundamental properties that guarantee this stability. That's why we discretize these complexes on polytopal meshes, while reproducing these properties at the discrete level. However, the discrete versions of these complexes often involve a large number of degrees of freedom (DOFs). This motivates the use of serendipity technique, which consists in reducing the number of DOFs in the discrete spaces, while preserving the essential algebraic and analytical properties that ensure the stability of the numerical schemes. This approach reduces the computational cost without affecting the convergence rate. Thus, the work presented in this thesis, mainly illustrated through two research articles, aims to construct discrete versions of certain complexes with fewer DOFs. The first contribution focuses on the two-dimensional divdiv complex, for which we construct, starting from a discrete version of this complex, a serendipity discrete version (with fewer DOFs) and prove that it retains the same properties as the first one. The second contribution adresses the construction of a serendipity discrete complex from three existing complexes: given a discrete complex, its serendipity version, and a variant of this complex with enhanced regularity, we construct the serendipity version of the latter. Finally, the last contribution introduces other research direction. We propose an HHO method for the Brinkman problem for non-Newtonian fluids, and we provide an error estimate in all regimes (from pure Darcy to Stokes). In conclusion, I hope that this work will be seen not as an endpoint, but rather as a starting point for future explorations.