Points fermés et maximalité relativement à une extension quadratique des courbes algébriques sur les corps finis

Closed points and maximality with respect to a quadratic extension of algebraic curves over finite fields

• Auteur / Autrice : Julien Monaldi
• Direction : Yves Aubry
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/06/2025
• Etablissement(s) : Toulon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mer et Sciences (Toulon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulon (2006-....)
• Jury : Président / Présidente : Marc Perret
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Elena Berardini, Fabien Herbaut, Annamaria Iezzi, Philippe Langevin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Serge Vladuts, Christophe Ritzenthaler
• DOI : 10.70675/2416e08cze9bez4e72za4b4ze2f77a5c4d95

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes algébriques

Mots clés libres

Courbe algébrique

Corps finis

Points rationnels

Points fermés

Maximalité diophantienne

Variété abélienne

Borne de Ihara

Jacobienne

Algebraic curve

Finite fields

Rational points

Closed points

Diophantine maximality

Abelian variety

Ihara bound

Jacobian

Résumé

Le cadre de cette thèse est l’étude des courbes algébriques projectives définies sur un corps fini, absolument irréductibles et lisses. Dans un premier temps, nous contribuons à un problème posé par Tsfasman, Vladuts et Nogin, à savoir la détermination du plus petit entier naturel rho(q,g) tel que, pour toute courbe X de genre g définie sur le corps fini à q éléments et pour tout r plus grand que rho(q,g), X admet des points de degré r. Nous donnerons les valeurs de ρ(q,1), ρ(q,2) et ρ(q, 3). Dans un second temps, nous étudions une inégalité démontrée par Hallouin et Perret reliant le nombre de points rationnels d’une courbe sur un corps fini à celui sur son extension quadratique. Nous en déduisons notamment une borne supérieure générale sur le nombre de points de degré 2. Nous étudions ensuite les courbes réalisant l’égalité dans l’inégalité de Hallouin et Perret en les caractérisant notamment à l’aide du nombre de points rationnels de leur jacobienne. Des liens naturels nous amènent à étudier les courbes réalisant le cas d’égalité dans la borne de Ihara et à énoncer un résultat d’optimalité en lien avec les courbes de Suzuki.

The framework of this thesis is the study of projective algebraic curves defined over a finite field, which are absolutely irreducible and smooth. First, we contribute to a problem posed by Tsfasman, Vladuts, and Nogin, namely the determination of the smallest natural integer ρ(q,g) such that, for any curve X of genus g defined over the finite field with q elements and for any r greater than or equal to ρ(q,g), X admits points of degree r. We will provide the values of ρ(q,1), ρ(q,2) and ρ(q,3). Second, we study an inequality proven by Hallouin and Perret, which relates the number of rational points of a curve over a finite field to the number of rational points over its quadratic extension. In particular, we deduce a general upper bound on the number of points of degree 2. We then examine the curves that achieve equality in Hallouin and Perret’s inequality, characterizing them notably using the number of rational points of their Jacobian. Natural connections lead us to study the curves that achieve equality in Ihara’s bound and to state an optimality result related to Suzuki curves.