Réduction de dimension et estimation d'hypersurfaces sous a priori gaussien via l'analyse fréquentiste de la loi a posteriori

Dimension reduction and hypersurface estimation under Gaussian prior via frequentist analysis of the posterior distribution

• Auteur / Autrice : Elie Odin
• Direction : François Bachoc, Agnès Lagnoux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 16/12/2025
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-2025)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de délivrance conjointe : Université de Toulouse (EPE ; 2025-....)
• Jury : Président / Présidente : Béatrice Laurent
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ismaël Castillo, Julyan Arbel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Botond Szabó
• DOI : 10.70675/800122bfzd260z457fz81c6z4a01ef00e804

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hypersurfaces

Processus gaussiens

Statistique non paramétrique

Mots clés libres

Réduction de dimension

Estimation d'hypersurface

Distribution a posteriori

Processus Gaussiens

Dimension reduction

Hypersurface estimation

Posterior distribution

Gaussian process

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux problèmes de Statistique non-paramétrique, étudiés sous l'approche bayésienne-fréquentiste, plus particulièrement à l'aide d'a priori gaussiens.Dans le premier, nous considérons une application prenant ses valeurs dans un espace de grande dimension mais ne dépendant que d'un sous-espace de dimension modérée, appelé sous-espace central.Pour un sous-espace quelconque, Tokdar (2011) a montré qu'il est possible d'atteindre des vitesses de contraction minimax en dimension intrinsèque en considérant un a priori hiérarchique. En supposant de plus que le sous-espace est aligné avec les axes, Jiang et Tokdar (2021) ont prouvé la contraction de la loi a posteriori lorsque la dimension ambiante croît avec le nombre d'observations. Dans ce premier travail, nous lions ces deux articles en déterminant, pour un sous-espace central arbitraire, la plus grande vitesse de croissance de la dimension ambiante pour laquelle la contraction a posteriori reste à vitesse minimax. Nous proposons également de retrouver le sous-espace central.Le second travail part d'une idée peu explorée : la construction d'a priori gaussiens sur l'ensemble des sous-variétés de l'espace euclidien. Notre choix s'est porté sur les hypersurfaces (variétés de codimension 1) définies par les zéros de processus de Matérn.Dans le cadre d'observations indépendantes distribuées uniformément sur une hypersurface et perturbées par un bruit gaussien, nous montrons que la loi a posteriori contracte vers la densité des observations.

In this thesis, we focus on two problems in nonparametric statistics, studied from a Bayesian–frequentist perspective, particularly using Gaussian priors.The first problem concerns a function taking values in a high-dimensional space but depending only on a subspace of moderate dimension, referred to as the central subspace.For a general subspace, Tokdar (2011) showed that minimax contraction rates in intrinsic dimension can be achieved using a hierarchical prior. More recently, under the additional assumption that the subspace is aligned with the axes, Jiang and Tokdar (2021) proved posterior contraction even as the ambient dimension grows with the number of observations. In this first part, we connect these two results by determining, for an arbitrary central subspace, the maximal growth rate of the ambient dimension for which posterior contraction remains at minimax rate. We also propose to recover the central subspace.The second part of the thesis explores a relatively under-studied idea: the construction of Gaussian priors on submanifolds of the Euclidean space. We focus on hypersurfaces (codimension-1 manifolds) defined as the zero sets of Matérn Gaussian processes.In a setting with independent observations uniformly distributed on a hypersurface and perturbed by Gaussian noise, we show that the posterior distribution contracts toward the density of the observations.