1-cocycles combinatoires des string links en utilisant les diagrammes de Gauss

Combinatorial 1-cocycles of string links using Gauss diagrams

• Auteur / Autrice : Butian Zhang
• Direction : Thomas Fiedler, Stepan Orevkov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 19/12/2025
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-2025)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de délivrance conjointe : Université de Toulouse (EPE ; 2025-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : François Costantino
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sofia Lambropoulou, Vincent Florens
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Louis H. Kauffman, Jean-Baptiste Meilhan
• DOI : 10.70675/4ac38202z28ddz4725za6afzd550498dc972

Mots clés

Mots clés contrôlés

Singularités (mathématiques)

Cocycles

Invariants de Vassiliev

Mots clés libres

Espace des nœuds longs

Diagramme de Gauss

Invariants de Vassiliev

Théorie des singularités

Mouvements de Reidemeister d'ordre supérieur

Space of long knots

Gauss diagram

Vassiliev invariants

Singularity theory

Higher Reidemeister moves

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions l'espace des nœuds longs (c'est-à-dire les plongements lisses de ℝ dans ℝ³ qui coïncident avec le plongement standard de l'axe x en dehors de l'intervalle [-1,1]) et, plus généralement, des string links, en utilisant un outil combinatoire appelé diagrammes de Gauss. Dans l'espace des nœuds longs, les composantes connexes par arcs coïncident avec les classes d'isotopie des nœuds longs. Les 0-cocycles dans cet espace correspondent aux invariants de nœuds, parmi lesquels les invariants de Vassiliev (ou invariants de type fini) occupent une place centrale. On peut exprimer les invariants de Vassiliev à l'aide de formules en diagrammes de Gauss. Nous utilisons les diagrammes de Gauss pour étudier les 0-cocycles et les 1-cocycles dans l'espace des nœuds longs. La thèse se compose de trois parties. La première partie concerne les 1-cocycles de type fini combinatoire. À l'aide des diagrammes de Gauss, nous construisons deux 1-cocycles β₁ et β₂ linéairement indépendants d'ordre combinatoire 4 sur ℤ. Nous prouvons leur cocyclicité en utilisant les mouvements de Reidemeister d'ordre supérieur pour des chemins génériques dans l'espace des nœuds longs, par rapport à la projection standard de ℝ³ sur ℝ ². Nous donnons des algorithmes pour réaliser certains arcs et boucles, notamment le cycle de Gramain, la boucle de Fox-Hatcher, l'arc de poussée et la boucle de crochet, dans l'espace des nœuds longs, et nous calculons nos 1-cocycles sur ces boucles. De plus, nous définissons un autre 1-cocycle β₃ d'ordre combinatoire 4 sur ℤ/2ℤ, tel que {β₁ mod 2, β₂ mod 2, β₃} soient linéairement indépendants sur ℤ/2ℤ. Ces résultats, combinés avec le 1-cocycle α₃¹ d'ordre combinatoire 3 de Mortier, soutiennent fortement la conjecture selon laquelle l'ordre combinatoire coïncide avec l'ordre de type fini au sens de Vassiliev. La deuxième partie porte sur un 1-cocycle régulier de type quantique basé sur le polynôme HOMFLY-PT, dans l'espace des 2-string links, à valeurs dans l'algèbre de Hecke H₂(v, z). Il s'agit d'un travail en collaboration avec Fiedler. Nous dérivons des équations quantiques pour toute paire de diagrammes de nœuds longs isotopes réguliers, en analysant la valeur du 1-cocycle sur l'arc consistant à pousser un entrelacs à travers un 2-câble parallèle d'un nœud long. D'une part, la solution de ces équations quantiques peut être utilisée pour distinguer des nœuds. D'autre part, étant donnés deux diagrammes de nœuds longs isotopes réguliers, la solution fournit des informations sur l'isotopie régulière qui les relie, même si cette isotopie n'est pas connue explicitement. La troisième partie concerne les formules de diagrammes de Gauss pour les nœuds dérivées de la version orientée de Dubrovnik du polynôme de Kauffman à deux variables, après un changement de variables. Ce travail est parallèle à celui de Chmutov et Polyak pour la dérivation de formules de diagrammes de Gauss à partir du polynôme HOMFLY-PT. En particulier, nous développons davantage la méthode de comptage des nombres d'enlacement afin de produire plus d'identités de diagrammes de Gauss. Enfin, nous donnons un ensemble complet d'identités de diagrammes de Gauss jusqu'à l'ordre 3.

In this thesis, we study the space of long knots (i.e., the smooth embeddings of ℝ into ℝ³ which agree with the standard embedding of the x-axis outside the interval [-1, 1]) and more generally string links, using a combinatorial tool called Gauss diagrams. In the space of long knots, the path components coincide with the isotopy classes of long knots. The 0-cocycles in this space are knot invariants, among which Vassiliev invariants (finite-type invariants) are of great importance. One can express Vassiliev invariants by Gauss diagram formulae. We use Gauss diagrams to study 0-cocycles and 1-cocycles in the space of long knots. The thesis consists of three parts. The first part is about 1-cocycles of combinatorial finite type. Using Gauss diagrams, we construct two linearly independent 1-cocycles β₁ and β₂ of combinatorial order 4 over ℤ. We prove their cocyclicity via higher Reidemeister moves for generic paths in the space of long knots with respect to the standard projection from ℝ³ to ℝ². We give algorithms to realise several arcs and loops, namely the Gramain cycle, the Fox-Hatcher loop, the push arc and the bracket loop, in the space of long knots, and we compute the values of our 1-cocycles on these loops. In addition, we give another 1-cocycle β₃ of combinatorial order 4 over ℤ/2ℤ such that {β₁ mod 2, β₂ mod 2, β₃} are linearly independent over ℤ/2ℤ. These results, together with Mortier's 1-cocycle α₃¹ of combinatorial order 3, strongly support the conjecture that combinatorial order coincides with finite type order in the sense of Vassiliev. The second part concerns a quantum-type regular 1-cocycle based on the HOMFLY-PT polynomial in the space of 2-string links, with values in the Hecke algebra H₂(v, z). This is joint work with Fiedler. We derive quantum equations for any pair of regular isotopic long knot diagrams by analysing the value of the 1-cocycle on the arc of pushing a tangle through a parallel 2-cable of a long knot. On the one hand, the solutions to these quantum equations can be used to distinguish knots. On the other hand, given two regular isotopic long knot diagrams, the solution gives information about the regular isotopy connecting them even when that isotopy is not explicitly known. The third part deals with Gauss diagram formulae for knots derived from the oriented Dubrovnik version of the 2-variable Kauffman polynomial after a change of variables. This is parallel work to that of Chmutov and Polyak in deriving Gauss diagram formulae from the HOMFLY-PT polynomial. In particular, we further develop the method of counting linking numbers to produce more Gauss diagram identities, and we provide a complete set of Gauss diagram identities up to order 3.