Régularité des barycentres de Wasserstein

Regularity of Wasserstein barycenters

• Auteur / Autrice : Jianyu Ma
• Direction : Jérôme Bertrand
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 16/10/2025
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-2025)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de délivrance conjointe : Université de Toulouse (EPE ; 2025-....)
• Jury : Président / Présidente : Filippo Santambrogio
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marjolaine Puel, Thierry Klein, Guillaume Carlier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Juillet
• DOI : 10.70675/474698e5zb40ez4359z8f8dz3eacf20614b6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Distances de Wasserstein

Géométrie de Riemann

Théorie du transport

Mots clés libres

Barycentre Wasserstein

Théorie du transport

Géométrie riemannienne

Arbre métrique

Wasserstein barycenter

Optimal transport

Riemannian geometry

Metric tree

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude des conditions géométriques qui gouvernent la régularité des barycentres de Wasserstein. L'objectif central est de comprendre comment la géométrie sous-jacente d'un espace métrique — en particulier, la présence ou l'absence d'une minoration de la courbure de Ricci — détermine si un barycentre est absolument continu ou singulier. La recherche aboutit à deux contributions principales, l'une concernant les espaces lisses et non-branchants (variétés riemanniennes) et l'autre les espaces singuliers et branchants (arbres métriques).La première contribution majeure établit la continuité absolue des barycentres de Wasserstein sur les variétés riemanniennes sous des hypothèses significativement plus faibles que celles connues auparavant. Cette thèse montre que sur toute variété riemannienne complète dotée d'une courbure de Ricci minorée, le barycentre de Wasserstein ''dollar''mu_mathbb{P} ''dollar'' est garanti d'être absolument continu, à condition que sa mesure de probabilité définissante ''dollar''mathbb{P} ''dollar'' sur l'espace de Wasserstein assigne une masse positive à l'ensemble des mesures absolument continues. Ce résultat assouplit considérablement les conditions des travaux antérieurs, qui exigeaient à la fois la compacité de la variété et que la mesure ''dollar''mathbb{P} ''dollar'' assigne une masse positive à l'ensemble des mesures dont les densités sont uniformément bornées. La preuve introduit une approche novatrice reposant sur plusieurs nouveaux outils analytiques. Nous développons un nouveau type de fonctionnelles de déplacement, dont les propriétés découlent d'une nouvelle égalité hessienne pour les barycentres. Ces fonctionnelles permettent d'établir une estimation cruciale garantissant la régularité. De plus, la preuve intègre des outils de la théorie des espaces sousliniens pour lier l'hypothèse générale sur ''dollar''mathbb{P} ''dollar'' aux conditions topologiques spécifiques requises par nos estimations fonctionnelles.La seconde contribution majeure est le développement d'un cadre systématique pour analyser et caractériser les barycentres de Wasserstein sur les arbres métriques, où l'absence d'une minoration synthétique de la courbure de Ricci peut engendrer un comportement complexe. Ce cadre, qui combine un principe de localisation novateur (la ''propriété de restriction'') avec des techniques qui ramènent les problèmes de transport sur les arbres au cadre plus simple de la droite réelle, fournit les outils nécessaires pour étudier en détail la structure de ces barycentres. Il permet une investigation méthodique de la manière dont la topologie de branchement de l'arbre génère des phénomènes tels que la singularité et la non-unicité, qui distinguent ces espaces des variétés.En résumé, cette thèse fait progresser notre compréhension des barycentres de Wasserstein en :1. Prouvant un résultat définitif sur leur continuité absolue sur les variétés à courbure de Ricci minorée, étayé par de nouveaux outils analytiques incluant des fonctionnelles de déplacement novatrices et l'application de la théorie des espaces sousliniens.2. Développant un cadre systématique pour caractériser les barycentres sur les arbres métriques, fournissant les outils pour analyser leur structure et leur singularité.

This thesis investigates the geometric conditions that govern the regularity of Wasserstein barycenters. The central goal is to understand how the underlying geometry of a metric space—specifically, the presence or absence of a lower Ricci curvature bound—determines whether a barycenter is absolutely continuous or singular. The research yields two main contributions, one concerning smooth, non-branching spaces (Riemannian manifolds) and the other concerning singular, branching spaces (metric trees).The first key contribution establishes the absolute continuity of Wasserstein barycenters on Riemannian manifolds under significantly weaker assumptions than previously known. This thesis shows that on any complete Riemannian manifold with a lower Ricci curvature bound, the Wasserstein barycenter ''dollar''mu_mathbb{P} ''dollar'' is guaranteed to be absolutely continuous, provided its defining probability measure ''dollar''mathbb{P} ''dollar'' on the Wasserstein space assigns positive mass to the set of absolutely continuous measures. This result significantly relaxes the conditions of previous work, which required both the manifold to be compact and the measure ''dollar''mathbb{P} ''dollar'' to assign positive mass to the set of measures with uniformly bounded densities. The proof introduces a novel approach built on several new analytical tools. We develop a new class of displacement functionals, whose properties are derived from a novel Hessian equality for barycenters. These functionals allow us to establish a crucial regularity-enforcing estimate. Furthermore, the proof integrates tools from Souslin space theory to bridge the gap between the general assumption on ''dollar''mathbb{P} ''dollar'' and the specific topological conditions required by our functional estimates.The second key contribution is the development of a systematic framework to analyze and characterize Wasserstein barycenters on metric trees, where the lack of a lower synthetic Ricci curvature bound can lead to complex behavior. This framework, which combines a novel localization principle (the ''restriction property'') with techniques that relate transport problems on trees to the simpler setting of the real line, provides the necessary tools to study the structure of these barycenters in detail. It allows for a methodical investigation of how the tree's branching topology generates phenomena such as singularity and non-uniqueness, which distinguish these spaces from manifolds.In summary, this thesis advances our understanding of Wasserstein barycenters by:1. Proving a definitive result on their absolute continuity on manifolds with a lower Ricci curvature bound, supported by new analytical tools including novel displacement functionals and the application of Souslin space theory.2. Developing a systematic framework to characterize barycenters on metric trees, providing the tools to analyze their structure and singularity.