Topologie des cordes en théorie de Morse à coefficients différentiels gradués

String topology in Morse homology with differentiel graded coefficients

• Auteur / Autrice : Robin Riegel
• Direction : Mihai Damian, Alexandru Oancea
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/11/2025
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Gwénaël Massuyeau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-François Barraud, David Chataur, Sonja Hohloch
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Baptiste Chantraine, Nathalie Wahl
• DOI : 10.70675/0eb0ffaezde94z4c41za698z0781a6f89065

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie de Morse

Topologie algébrique

Mots clés libres

Théorie de Morse

Topologie des cordes

Structures A infini

Topologie algébrique

Morse theory

String topology

A infinity structures

Algebraic topology

Résumé

Dans cette thèse, nous développons un modèle de Morse pour les opérations de topologie des cordes généralisées sur l'espace total d'une fibration en utilisant la théorie de Morse à coefficients différentiels gradués (DG). Les idées ''d’intersection sur la base'' et de ''concaténation sur la fibre'' sont bien adaptées à ce cadre. Nous donnons des modèles de Morse au niveau des chaînes pour les opérations qui définissent le produit de Chas-Sullivan sur l'homologie de l'espace des lacets libres d'une variété orientée et fermée. À cette fin, nous développons des propriétés fonctorielles par rapport aux coefficients en termes de morphismes de \Ai -modules et de morphismes de fibrations. Nous construisons également une version différentielle graduée de la formule de Künneth et de la construction de Pontryagin-Thom. En utilisant ces opérations, nous construisons une version en Homologie de Morse à coefficients DG du produit des chemins. Enfin, nous définissons l'homologie de Morse-Novikov à coefficients DG et généralisons ces modèles à ce cadre.

In this thesis, we develop a Morse theoretical viewpoint on generalized String topology operations on the total space of a fibration using Morse theory with differential graded (DG) coefficients. The ideas of ''intersecting on the base'' and ''concatenating on the fiber'' are well-adapted to this framework. We give Morse models at the chain-level for the operations that define the Chas-Sullivan product on the homology of the free loop space of an oriented, closed, and connected manifold. For this purpose, we develop functorial properties with respect to the coefficients in terms of morphisms of \Ai -modules and morphisms of fibrations. We also build a differential graded version of the Künneth formula and of the Pontryagin-Thom construction. Using these operations, we build a DG Morse version of the Path-product. Finally, we define DG Morse-Novikov homology and generalize these models to this setting.