Bases de Gröbner dans les algèbres polyhédrales

Gröbner bases over polyhedral algebras

• Auteur / Autrice : Lucas Legrand
• Direction : Moulay Abdelfattah Barkatou, Tristan Vaccon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance le 16/09/2025
• Etablissement(s) : Limoges
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie (Limoges ; 2022-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : XLIM (Brive, Limoges, Poitiers ; 2006-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Chyzak
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mercedes Haiech, Fatemeh Mohammadi, Bernard Le Stum
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Chyzak, Xavier Caruso

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres commutatives

Mots clés libres

Bases de Gröbner

Algèbres polyédriques

Algorithme de Buchberger

Géométrie rigide

Géométrie tropicale

Algèbres affinoïdes

Ordres généralisés

SageMath

Gröbner bases

Polyhedral algebras

Buchberger algorithm

Tropical geometry

Rigid geometry

Tate algebras

Generalized orders

SageMath

Résumé

Cette thèse étend la théorie des bases de Gröbner aux algèbres polyédriques, définies comme des anneaux de séries formelles soumis à des conditions de convergence dictées par un polyèdre. Ces structures se rencontrent naturellement en géométrie tropicale et en géométrie rigide analytique. Nous adaptons l’algorithme de Buchberger à ce cadre en introduisant des ordres de termes adaptés, des procédures de réduction généralisées et des décompositions prenant en compte la géométrie polyédrique sous-jacente. Ce travail soulève plusieurs défis, notamment l’absence d’ordre bien fondé dans les monoïdes de Laurent et la sous-multiplicativité des valuations. La théorie est développée progressivement sur des cas particuliers, avant d’être généralisée. Une implémentation dans SageMath illustre l’effectivité des algorithmes proposés.

This thesis develops a Gröbner basis theory for polyhedral algebras, which are power series rings defined by convergence constraints arising from polyhedra. These algebras appear naturally in tropical and rigid analytic geometry. We generalize Buchberger’s classical algorithm to this setting by introducing adapted term orderings, generalized reductions, and polyhedral-aware decompositions. Challenges include the lack of well-ordering in Laurent monoids and submultiplicativity of valuations. The theory is built step-by-step for restricted classes of polyhedral algebras, and ultimately extended to the general case. We provide computational methods and a SageMath implementation illustrating the effectivity of the developed algorithms.