Une approche d’optimisation distributionnellement robuste pour l’analyse du risque de modèle en finance mathématique

A Distributionally Robust Optimization Approach to Model Risk in Mathematical Finance

• Auteur / Autrice : Nathan Sauldubois
• Direction : Nizar Touzi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 25/11/2025
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées de l'Ecole polytechnique (Palaiseau ; 1974-....) - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique / CMAP
• Jury : Président / Présidente : Huyên Pham
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nizar Touzi, Jan Obłój, Beatrice Acciaio, Pierre Henry-Labordère, Johannes Wiesel, Fabrice Djete
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jan Obłój, Beatrice Acciaio

Mots clés

Mots clés contrôlés

Probabilités

Transport optimal de mesure

Distances de Wasserstein

Finances -- Modèles mathématiques

Martingales (mathématiques)

Mots clés libres

Transport Optimal

Analyse Distributionellement Robuste

Martingale

Contrôle stochastique

Arret Optimal

Optimal Transport

Distributionally Robust Optimisation

Martingale

Stochastic Control

Optimal stopping

Résumé

Cette thèse étudie plusieurs problèmes liés au risque de modèle.Dans la première partie, nous analysons la sensibilité de l’Optimisation Distributionnellement Robuste (ODR) sous contrainte de distance de Wasserstein (W-ODR) et de l’ODR sous contrainte de distance de Wasserstein adaptée (AW-ODR), en ajoutant un nombre finies de contraintes, puis des contraintes sur les marginales et sur les moments conditionnels.Nous commençons par étudier la W-DRO et l’AW-DRO avec des contraintes de martingale.En suivant la littérature sur le transport optimal martingal, nous considérons ensuite le cas de la contrainte de couplage martingal.Pour résoudre ce dernier cas, nous construisons une nouvelle famille de couplages martingales, grâce à un argument basé sur le Théorème des Fonctions Implicites.Il s’avère que cette méthode se révèle utile pour l’étude des problèmes de W-DRO et d’AW-DRO avec des contraintes supplémentaires.Nous nous intéressons ensuite au développement d’ordre supérieur des problèmes de W-DRO et d’AW-DRO, en montrant qu’il peut être réduit à un problème d’optimisation fonctionnelle. Cette approche se révèle utile d’un point de vue numérique, car elle permet une meilleure initialisation des réseaux de neurones lors de la résolution des deux problèmes W-DRO et AW-DRO.Enfin, nous nous tournons vers l’étude de la sensibilité des problèmes de contrôle stochastique distributionnellement robuste non Markoviens, ainsi que leurs equivalents pour des probleme d'arret optimal.

This thesis addresses a series of problems related to model risk.In the first part, we conduct a sensitivity analysis of Wasserstein distributionally robust optimization (W-DRO) and adapted Wasserstein distributionally robust optimization (AW-DRO), in the presence of infinitely many constraints, such as conditional moment restrictions.We begin by examining W-DRO and AW-DRO formulations that incorporate martingale constraints.Building upon the literature on martingale optimal transport, we then move to the case of the martingale coupling constraint.To address this latter case, we introduce a novel family of martingale couplings, derived through an application of the Implicit Function Theorem.It turns out that this method is applicable to other constrained versions of W-DRO and AW-DRO problems.Subsequently, we investigate higher-order expansion of the W-DRO and AW-DRO problems, by proving that it can be reduce to a functional optimization problem.This reformulation enables more efficient initialization of neural networks when numerically solving both W-DRO and AW-DRO.Finally, we turn our attention to the sensitivity analysis of non-markovian stochastic control and optimal stopping problems.