Phénomènes de diffusion pour des équations dispersives

Scattering phenomena for dispersive PDEs

• Auteur / Autrice : Cyril Maleze
• Direction : Anne-Sophie De Suzzoni, Charles Collot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 11/07/2025
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de Mathématiques Laurent Schwartz (Palaiseau ; 1965-....) - Centre de Mathématiques Laurent Schwartz / CMLS
• Jury : Président / Présidente : Mathieu Lewin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anne-Sophie De Suzzoni, Charles Collot, Laurent Thomann, Julien Sabin, François Golse, Simona Rota Nodari
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Laurent Thomann, Julien Sabin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dispersion (mathématiques)

Équations dispersives non linéaires

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

EDPs

Dispersive

Diffusion

PDEs

Dispersive

Scattering

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de solutions d’équations dispersives, avec coloration aléatoire. Dans les chapitres 1,2 et 3, on étudie le caractère en temps long de solutions d’équations de Hartree avec point de vue probabiliste. Plus précisément, dans lechapitre 1, on travaille sur la stabilité d’un équilibre thermodynamique, `a travers un résultat de diffusion autour de cet équilibre, pour l’équation de Hartree quintique. Ce travail est une extension d’un résultat de diffusion pour l’équation de Hartree cubique, prouvépar Collot–de Suzzoni. Le résultat du chapitre 2 est un résultat de diffusion autour d’un équilibre thermodynamique pour l’équation de Hartree–Fock, obtenue en ajoutant un terme dit d’échange à l’équation de Hartree. Ce terme rajoute de nombreuses difficultés à l’étude de la stabilité des équilibres. Ce terme d’échange fait cependant apparaître certaines annulations qui permet de montrer en dimension 1 un résultat de diffusion autour de zéro : c’est le résultat principal du chapitre 3. Dans le chapitre 4, il est question de la construction de mesures de Gibbs pour l’équation de Dirac zonale. En particulier, on montre un résultat d’existence de solutions en construisant une mesure de Gibbs, après une renormalisation de l’équation.

This thesis is devoted to the study of solutions of dispersive equations, with a random coloration. In chapters 1, 2 and 3, we study the long-time dynamics of solutions of Hartree equations with a probabilistic point of view. Precisely, in chapter 1, we work on the stability of a thermodynamical equilibria, through a scattering result around this equilibria, for the quintic Hartree equation. This work is a continuation of a result for the cubic Hartree equation, proved by Collot– de Suzzoni. The result of chapter 2 is a result of diffusionaround a thermodynamical equilibria for the Hartree–Fock equation, obtained by adding a term to the Hartree equation, called exchange term. This term adds many difficulties to the study of the stability of the equilbiria. However, this exchange term is at thesource of cancellations, that allows to obtain a scattering result around zero for the Hartree–Fock equation in dimension 1 : this is the main result in chapter 3. In chapter 4, we investigate the construction of Gibbs measures for the zonal Dirac equation. In particular,we show a result of existence of solutions for the zonal Dirac equation, by constructing a Gibbs measure,after having renormalized the equation.