Géométrie des courbes : une approche explicite par les invariants

Geometry of curves : an explicit approach through invariants

• Auteur / Autrice : Thomas Bouchet
• Direction : Christophe Ritzenthaler, Reynald Lercier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/06/2025
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : David R. Kohel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophe Ritzenthaler, Reynald Lercier, David R. Kohel, Gregor Kemper, Giorgio Ottaviani, Elisa Lorenzo García, Evelyne Hubert
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gregor Kemper, Giorgio Ottaviani

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hypersurfaces

Espaces de modules

Invariants

Courbes

Mots clés libres

Invariants

Espaces de modules

Courbes

Covariants

Hypersurfaces

Invariants

Moduli spaces

Curves

Covariants

Hypersurfaces

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des quantités polynomiales, qu'on appelle invariants, qui caractérisent la classe d'isomorphisme géométrique des courbes d'un genre et modèle donnés. Ces invariants ont de nombreuses applications, et ils jouent notamment un rôle central dans la construction d'exemples de courbes qui possèdent des propriétés arithmétiques ou géométriques intéressantes, comme la multiplication complexe. Pour les courbes de genre 1, 2 et 3, de tels invariants sont connus. Un article récent de Brouwer et Popoviciu exhibe des invariants classifiant les classes d'isomorphismes des courbes hyperelliptiques de genre 4. Dans un premier temps, nous présentons des invariants qui caractérisent les classes d'isomorphismes des courbes non-hyperelliptiques de genre 4.Ce premier travail a donné lieu à une publication dans le Journal of Algebra. Ensuite, nous donnons un algorithme explicite de reconstruction d'une courbe non-hyperelliptique de genre 4 à partir de ses invariants. L'algorithme développé est valide dans un cadre général, et permet la reconstruction d'hypersurfaces à partir de leurs invariants pour l'action du groupe linéaire. Cet algorithme généralise celui de Mestre pour la reconstruction de courbes hyperelliptiques à partir de leurs invariants. Ce second travail a été soumis pour publication dans le Journal of Pure and Applied Algebra. Enfin, nous étudions quelques questions complémentaires : - La validité des invariants de Dixmier-Ohno en caractéristique positive, - Comment construire des courbes de genre 4 grâce aux algorithmes présentés précédemment, - Le problème effectif de déterminer une transformation linéaire entre deux formes de degré d en n variables. Pour ce dernier, nous donnons un algorithme efficace qui détermine une transformation entre deux formes génériques linéairement équivalentes.

In this thesis, we study polynomial quantities known as invariants, which characterize the geometric isomorphism class of curves of a given genus and model. These invariants have numerous applications, notably they play a central role in the construction of examples of curves with interesting arithmetic or geometric properties, such as complex multiplication. For curves of genus 1, 2, and 3, such invariants are well-known. A recent work by Brouwer and Popoviciu exhibits a system of invariants that classify the isomorphism classes of hyperelliptic curves of genus 4. First, we present a set of invariants which classify the isomorphism classes of non-hyperelliptic genus 4 curves. This work led to a publication in Journal of Algebra. Then, we give an explicit algorithm which reconstructs a non-hyperelliptic genus 4 curve from its invariants. That algorithm is valid in a general setting, and enables the reconstruction of hypersurfaces from their invariants under the action of the linear group. It generalizes Mestre's algorithm for the reconstruction of hyperelliptic curves from their invariants. This second work led to an article which has been submitted for publication in Journal of Pure and Applied Algebra.Finally, we discuss several related topics that are worth mentioning:- The validity of the Dixmier-Ohno invariants in positive characteristic,- How to construct curves of genus 4 leveraging the algorithms presented previously,- The effective problem of finding a linear transformation between two degree d forms in n variables. For the latter, we present an efficient and effective algorithm that determines a transformation between two generic forms which are linearly equivalent.