Arithmétique et algorithmique des courbes algébriques et applications aux codes correcteurs et à la cryptographie

Arithmetics and algorithmics of algebraic curves and applications to coding theory and cryptography

• Auteur / Autrice : Jean Gasnier
• Direction : Jean-Marc Couveignes
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 10/07/2025
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Alain Couvreur
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : David R. Kohel, Elisa Lorenzo García
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alain Couvreur, Pierrick Gaudry

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique arithmétique

Courbes algébriques

Cryptographie

Codes correcteurs d'erreurs (théorie de l'information)

Mots clés libres

Codes correcteurs

Courbes algébriques

Corps finis

Cryptographie

Géométrie arithmétique

Théorie du corps de classes

Coding theory

Algebraic curves

Finite fields

Cryptography

Arithmetic geometry

Class field theory

Résumé

L’arithmétique et l’algorithmique élémentaires des courbes algébriques est au cœur de contributions majeures à la théorie des codes correcteurs d’erreurs et à la cryptologie. Ce travail de thèse mobilise des notions plus avancées, provenant de la théorie du corps de classes, de la théorie de Riemann–Roch équivariante, et de la géométrie arithmétique des jacobiennes, pour établir un cadre général adapté à ces constructions et en améliorer l’efficacité. On étudie notamment les propriétés de codes linéaires munis d’une structure de module sur l’algèbre d’un groupe fini G. On étudie plus spécifiquement les codes munis d’une structure de sous-module libre d’un module libre, et leur dualité. En particulier, on montre que ces codes peuvent être représentés par des matrices de contrôle à coefficients dans l’algèbre du groupe G. Dans le cas où G est commutatif, la transformée de Fourier rapide confère de bonnes propriétés algorithmiques à ces codes correcteurs. On montre aussi comment construire ces codes à l’aide de revêtements abéliens non ramifiés de courbes projectives lisses, et l’on donne les premiers exemples de codes correcteurs excellents encodables en temps quasi-linéaire et décodables en temps quasi-quadratique. Une autre application concerne la construction de familles de courbes elliptiques à couplages, exploitées dans certains protocoles cryptographiques. La théorie de la multiplication complexe permet de réduire le problème géométrique sous-jacent à un problème d’arithmétique cyclotomique. On déduit de l’étude de ce problème une méthode unifiée de construction de familles de courbes elliptiques à couplages.

The elementary arithmetics and algorithmics of algebraic curves is at the heart of major contributions to coding theory and cryptology. This PhD thesis draws on more advanced concepts, from class field theory, equivariant Riemann-Roch theory and the arithmetic geometry of jacobian varieties, to establish a general framework adapted to these constructions and improve their efficiency. In particular, we study the properties of linear codes endowed with a module structure over the algebra of a finite group G. We study more specifically the codes endowed with a structure of free submodule of a free module, and their duality. Specifically, we show that these codes can be described by parity check matrices whose coefficients belong to the algebra of the group G. When G is commutative, the fast Fourier transform provides nice algorithmic properties to these error-correcting codes. We also show how to build these codes, using unramified abelian coverings of smooth projective curves, and we give the first examples of excellent codes encodable in quasi-linear time and decodable in quasi-quadratic time. Another application involves the generation of families of pairing-friendly elliptic curves, used in some cryptographic protocols. The complex multiplication theory allows to reduce the underlying geometric problem to a problem of cyclotomic arithmetics. We deduce from the study of this problem an unified method of generation of families of pairing-friendly elliptic curves.