Modèles continûment stratifiés et systèmes multi-couches pour les écoulements géophysiques

Continuously stratified models and multi-layer systems for geophysical flows

• Auteur / Autrice : Mahieddine Adim
• Direction : Vincent Duchêne
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 04/07/2024
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MATISSE
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Pascal Noble
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vincent Duchêne, Luis Miguel Rodrigues, Benjamin Boutin, Charlotte Perrin, Emmanuel Audusse
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Didier Bresch, Bogdan-Vasile Matioc

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Océanographie

Modèles mathématiques

Écoulement (hydrologie)

Mots clés libres

EDP non-Linéaires

Océanographie

Stratification de densité

Modèles hydrostatiques

Systèmes de Saint-Venant

Paramétrisation de Gent & McWilliams

Non-Linear PDEs

Oceanography

Density stratification

Hydrostatic models

Shallow water systems

Gent & McWilliams parameterization

Résumé

Dans cette thèse, nous établissons rigoureusement des ponts entre les écoulements continument stratifiés et les écoulements multi-couches. Dans une première partie, nous considérons le système de Saint-Venant multi-couches avec un terme supplémentaire diffusif qui a un effet régularisant, dont la motivation provient des travaux des océanographes Gent & McWilliams sur le mélange isopycnal et la diffusivité des tourbillons, et qui pourrait être interprété comme un terme de turbulence. En exploitant la structure de ce système, nous obtenons un dictionnaire qui nous permet d'interpréter ce système multi-couches comme une discrétisation de la formulation en coordonnées isopycnales du système hydrostatique continument stratifié avec le terme diffusif de Gent & McWilliams ajouté de manière similaire. Nous montrons la convergence de la solution discrète vers la solution continue à mesure que le nombre de couches tend vers l'infini, et nous fournissons un taux de convergence explicite. Dans une deuxième partie, dans cette thèse, nous abordons la limite ''inverse'', nous montrons rigoureusement que, sous certaines conditions d'hyperbolicité et dans un cadre topologique bien choisi, la solution du système continument stratifié converge vers le système de Saint-Venant bi-couches dans la limite de stratification nette.

In this thesis, we rigorously establish bridges between continuously stratified flows and multi-layer flows. In the first part, we consider the multi-layer shallow water system with an additional diffusive term that has a regularizing effect, motivated by the work of oceanographers Gent & McWilliams on isopycnal mixing and eddy diffusivity, which can be interpreted as a turbulence term. By exploiting the structure of this system, we derive a dictionary that allows us to interpret this multi-layer system as a discretization of the formulation in isopycnal coordinates of the continuously stratified hydrostatic system with the Gent & McWilliams diffusive term added in a similar manner. We demonstrate the convergence of the discrete solution to the continuous solution as the number of layers tends to infinity, and we provide an explicit convergence rate. In the second part of this thesis, we address the ''inverse'' limit. We rigorously show that, under certain hyperbolicity conditions and within a well-chosen topological framework, the solution of the continuously stratified system converges to the bi-layer shallow water system in the limit of sharp stratification.